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中考数学专题复习 专题14 角平分线问题
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中考数学总复习六大策略1、学会运用函数与方程思想。从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来,不等于“一点不懂、一点不会”,要将整道题目解题思路转化为得分点。4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,把未知的问题转化为已知的问题。 专题14 角平分线问题1.角的平分线定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地,还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法(尺规作图)①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB于C、D两点;②分别以C、D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P;③过点P作射线OP,射线OP即为所求. 3.角平分线的性质(1)定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言:∵OP平分∠AOB,AP⊥OA,BP⊥OB,∴AP=BP.(2)逆定理:到角的两边距离相等的点在角的平分线上。符号语言:∵ AP⊥OA,BP⊥OB,AP=BP,∴点P在∠AOB的平分线上.注意:三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言:如下图,AD是ΔABC的角平分线,或∠BAD=∠CAD且点D在BC上.说明:AD是ΔABC的角平分线∠BAD=∠DAC=∠BAC (或∠BAC=2∠BAD=2∠DAC) .(1)三角形的角平分线是线段;(2)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部; (3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点,这一点叫做三角形的内心;(4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用(1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路;(2)在解决综合问题中的应用.【例题1】(2020•襄阳)如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,若∠EFG=64°,则∠EGD的大小是( )A.132° B.128° C.122° D.112°【对点练习】(2020长春模拟 )如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为( )A.44° B.40° C.39° D.38°【例题2】(2020•随州)如图,点A,B,C在⊙O上,AD是∠BAC的角平分线,若∠BOC=120°,则∠CAD的度数为 .【对点练习】(2019四川自贡)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE= .【例题3】(2020•金华)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重合),点O是夹子转轴位置,OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,OE=OF=1cm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动.(1)当E,F两点的距离最大时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是 cm.(2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时,A,B两点的距离为 cm.【对点练习】已知:点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB.求证:点P在∠MON的平分线上. 一、选择题1.(2020•乐山)如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF.则∠GEB=( )A.10° B.20° C.30° D.40°2.(2020•福建)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( )A.10 B.5 C.4 D.33.如图,在∆ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,过点D作DEAB于点E,测得BC=9,BE=3,则∆BDE的周长是( )
A.15 B.12 C.9 D.64.如图,面积为24的▱ABCD中,对角线BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E,DE=6,则sin∠DCE的值为( )A. B. C. D.5.已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( )A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C6.如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=( )A.75° B.80° C.85° D.90°7.(2019山东滨州)如图,在正方形ABCD中,对角线相交于点O,BN平分∠CBD,交边CD于点N,交对角线AC于点M,若OM=1,则线段DN的长是多少( )A.1.5 B.2 C. D.28.(2019陕西)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若DE=1,则BC的长为( ) A.2+ B. C.2+ D.3 9.(2019内蒙古)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点D,E,再分别以点D、E为圆心,大于DE为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是( )A.1 B. C.2 D.二、填空题10.(2020•扬州)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB、BC于点D、E.②分别以点D、E为圆心,大于DE的同样长为半径作弧,两弧交于点F.③作射线BF交AC于点G.如果AB=8,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为 .11.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=8cm,则CD= .12.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 .13.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C= 度.14.(2019内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的长为 .15.(2019宁夏)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点B为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.若∠A=30°,则= .三、解答题16.(2020•泸州)如图,AC平分∠BAD,AB=AD.求证:BC=DC.17.(2020•武汉)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足为E.(1)求证:AD平分∠BAE;(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.18.已知:OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA=PB.19.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且DE=DC.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若∠A=36°,求∠DBC的度数. 20.已知:如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC. (1)求证:△ABC是等腰三角形; (2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由.21.如图,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,AE与BD相交于点C.求证:AC=BC.22.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA. (1)求证:DE平分∠BDC; (2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.23. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?若能,请作出点E,并给出证明;若不能,请说明理由.24.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PDOA交OA于点D,PEOB交OB于点E,F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.25.如图,在四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.求证:(1)OC平分∠ACD;(2)OAOC;(3)AB+CD=AC.26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数;(2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.
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