2023辽宁省名校联盟高二下学期3月联合考试数学含答案

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辽宁省名校联盟2023年高二3月份联合考试

数 学

命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（    ）

A.任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和

B.任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和

C.至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和

D.至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和

4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边经过点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（    ）

A.2    B.    C.    D.1

6.已知某N95口罩厂的一条生产流水线上有编号依次为①至⑥的6个不同质检站，现将甲､乙､丙等6名质检员安排到这6个不同质检站进行产品检测，每个质检站安排1人，丙不在①和⑥质检站，则甲､乙所在质检站的编号相邻的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知直三棱桂：的底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，当时，，若函数有5个不同的零点，则的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A.

B.

C.在区间上单调递增

D.的图像的一个对称中心为

11.如图，圆台的上､下底面圆的半径之比为，其侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇环，四边形是过的轴截面，分别为下底面圆上两点，为上底面圆上一点，且，则（    ）

A.该圆台的体积为

B.平面平面

C.平面

D.该圆台的外接球的表面积为

12.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点，过作于，则（    ）

A.的方程为

B.当三点共线时，

C.

D.当时，

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的常数项为__________.

14.已知向量，若，则与的夹角为__________.

15，某校为落实党的二十大精神，开展了形式灵活的学习活动，统计了全校教师在一周内学习的累计时长（单位：小时），根据时长数据得到下面的频率分布直方图，则__________；估计该校教师学习累计时长的平均值为__________.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

16.已知椭圆的左､右焦点分别为是上不同的两点，，且点到直线的距离为，则的离心率为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

为了有效治疗某种传染性疾病，某医疗机构研发出A，B两种治疗药物，从患者中随机抽出200人，以每组100人分成两组，分别单独使用A，B两种治疗药物进行治疗，经过一个疗程治疗，得到下面2×2列联表：

（1）根据上表，分别估计患者使用两种药物经过一个疗程治疗痊愈的概率；

（2）是否有的把握认为两种药物的治疗效果有差异？

附：，其中.

18.（12分）

已知函数为奇函数且.

（1）求实数与之间的关系式；

（2）若，完成下面问题：

（i）用定义法证明：在上为增函数；

（ii）求解不等式.

19.（12分）

记的内角的对边分别为，已知__________.

在①；②这两个条件中任取一个，补充在上面问题中，并解答下面问题.

（1）若，求；

（2）设均为整数，，求的面积.

注：如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.

20.（12分）

2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行.足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲､乙､丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲､乙､丙三人点球成功的概率分别为，且三人每次点球的结果互不影响.

（1）求甲､乙､丙三人共点球4次的概率；

（2）设X表示甲､乙､丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和数学期望.

21.（12分）

如图，正四棱锥的棱长均为，点为的中心，为的中点，与交于点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

22.（12分）

已知为双曲线的左､右焦点，的一条渐近线方程为为上一点，且.

（1）求的方程；

（2）设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，为的中点，且，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由.

参考答案及解析

一､选择题

1.B  【解析】因为，所以，因为，所以.故选B项.

2.D  【解析】，则.故选D项.

3.D  【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，故哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”.故选D项.

4.A  【解析】根据三角函数的定义可知，，所以.故选A项.

5.C  【解析】设，由，得，整理得，所以点到圆心的距离的最小值，即为点到的距离，所以.故选C项.

6.B  【解析】丙不在①和⑥质检站有种安排方法；丙不在①和⑥质检站，且甲､乙所在质检站的编号相邻有种安排方法，所以甲､乙所在质检站的编号相邻的概率.故选B项.

7.A  【解析】由条件可知，则，如图，取的中点，连接，则，取的中点，连接，则，所以，则或其补角为异面直线与所成的角，连接，则，又，则，在等腰直角三角形中，，所以，在正方形中，，易知，则，在中，.故选A项.

8.C  【解析】因为为奇函数，所以曲线关于点对称，则，即.因为为偶函数，所以曲线关于直线对称，则，所以，则，所以，即，则是以4为一个周期的周期函数，所以曲线关于点，对称为奇函数），且关于直线对称，因为为奇函数，所以，当时，，所以当时，，所以当时，.根据周期性可知，曲线与直线有5个交点，则曲线与直线有5个交点，根据对称性，在同一坐标系中，作出函数的图像与直线，如图所示.由图像可知，，即.故选项.

二､多选题

9.ACD  【解析】由可知，所以项正确；当时，不成立，B项错误；由0得，所以，所以，C项正确；1），当且仅当，即当时取得等号，项正确.故选项.

10.BD  【解析】由图可知解得.

又点在曲线上，所以，则，因为点在图像的增区间上，所以，根据五点作图法可知，，解得，则项错误；由上得，则，B项正确；令，解得，取，则在区间上单调递增，C项错误；令，解得，取，则是的图像的一个对称中心，D项正确.故选BD项.

11.ABD  【解析】将圆台的母线延长得到如图所示的圆锥，设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为，

由其侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则，所以，由，得，由扇环的面积为，得，解得，则，所以，因此该圆台的体积项正确；由圆台的性质可知，底面圆，则，又，所以平面，又平面，所以平面平面，B项正确；过与作轴截面，则四边形为梯形，所以，设点关于的对称点为，连接，交于点，因为，所以，所以，则，若平面，则平面平面，连接，则平面，连接，所以，则四边形为平行四边形，则，由上可知，所以不平行于平面，C项错误；

设圆台的外接球的球心为，半径为在直线上，设，当在线段上时，由球的性质可知，解得，所以.当在线段的延长线上时，由球的性质可知，此时无解.所以该圆台的外接球的表面积，D项正确.故选项.

12.BC  【解析】由题意可知，所以，所以的方程为，A项错误；设的方程为，联立得，则，所以，由题意可知，，当三点共线时，，则，解得，则，代入的方程可知，，根据抛物线的定义可知，所以，B项正确；由定义可知，，因为，所以项正确；当时，则，0，解得（负值舍去），），则

，由，则，所以，①假设，则，则，显然不符合①，所以D项错误.故选项.

三､填空题

13.112  【解析】的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中的常数项为.

14.  【解析】由，得，由，得，则，所以，记的夹角为，所以，由可知.

15.0.100  9.6  【解析】由图可知，，所以.该校教师学习累计时长的平均值的估计值为.

16.  【解析】因为，则，且，设，则，因为点到直线的距离为，则点到直线的距离为，过作，垂足为，在Rt中，，所以，则，连接，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则；在中，由余弦定理可得.由，得，整理得，所以，故的离心率为.

四､解答题

17.解：（1）由题可知，患者使用药物经过一个疗程治疗痊愈的概率的估计值为；

患者使用药物经过一个疗程治疗痊愈的概率的估计值为.

（2）由列联表可得，1.143，

因为，

所以没有的把握认为两种药物的治疗效果有差异.

18.（1）解：易知的定义域为，

因为为奇函数，所以，

则，

整理得，

则，

故实数与之间的关系式为.

（2）当时，，所以.

（i）证明：设，则

，

因为，所以，又，

所以，则，

故在上为增函数.

（ii）解：不等式等价于，

即，

所以解得，

故不等式的解集为.

19.解：（1）若选择①，

由，得

因为，所以，

由正弦定理得，

则，

即，

所以或（舍），则.

又，所以，即，故.

若选择②，

由条件及正弦定理得，

由余弦定理得，

所以，

则，

由正弦定理得，

所以，

整理得，

所以或（舍），则.

又，所以，即，

故.

（2）由及正弦定理得，

由（1）知，所以，

因为，所以，则

由余弦定理得，

即，

整理得，

解得或.

当时，，符合均为整数条件，

所以；

当时，，符合均为整数条件，

所以.

故的面积为或.

20.解：设甲､乙､丙三人第次点球成功分别为事件，

则.

（1）甲､乙､丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败，

则甲､乙､丙三人共点球4次的概率

（2）甲测试合格的概率

乙测试合格的概率

丙测试合格的概率.

易知的所有可能取值为，

所以的分布列为

所以.

21.（1）证明：连接，并延长交于点，

因为点为的中心，为等边三角形，

所以为的中点，所以，

连接，因为，所以，

则，所以，所以.

又平面平面，

所以平面.

（2）解：连接，则，

设，连接，

由正四棱锥的性质可知平面，

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，

则，，

则，

设平面的法向量为，

由得取，则，

设平面的法向量为，

由得取1，则，

于是，

故二面角的正弦值为.

22.解：（1）由题意可知，的渐近线方程为，

由条件可知.根据双曲线的定义可知，，

所以，则，

所以的方程为.

（2）因为，

所以点在双曲线的左支上，

当点在坐标轴上，则点的坐标为，

设，

当的斜率存在时，设的方程为，

联立整理得，

，则，

，

因为为的中点，且，

所以，

则，

所以

，

整理得，

解得或，验证均满足.

当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；

当时，直线的方程为，则

直线过定点.

当直线的斜率不存在时，由，

可设直线的方程为，

联立解得，

所以直线的方程为，

则直线过定点.

因为，

所以是以为斜边的直角三角形，

所以点在以为直径的圆上，则当为该圆的圆心时，

为该圆的半径，即，

故存在点，使得为定值.