2023成都七中高二下学期3月月考试题数学（理）含解析

成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（理科）

考试时间120分钟，总分150分

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．“”是“”成立的（    ）

A．充分条件       B．必要条件        C．充要条件       D．既不充分又不必要条件

2．已知x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（    ）

A．           B．            C．          D．

3．已知向量满足，且与的夹角为，则的值为（    ）

A．             B．1             C．            D．2

4．（    ）

A．         B．         C．           D．

5．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（    ）

A．         B．       C．          D．

6．若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．4           B．         C．          D．

7．已知，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16         B．12         C．8           D．4

8．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A．         B．

C．                 D．

9．在正方体中，下列结论正确的有（    ）

①异面直线与BD所成角的大小为；       ②直线与直线AC垂直；

③直线平面ABCD所成角的正切值为；   ④平面与平面BCD夹角的正切值为．

A．①②          B．①②③          C．②③④          D．③④

10．已知正分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分则双曲线的离心率为（    ）

A．         B．            C．            D．

11．若，则（    ）

A．         B．        C．         D．

12．已知恒成立，则的取值范围是（    ）

A．         B．            C．            D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若样本数据的标准差为10，则数据的方差为_________．

14．已知等比数列中，．则________．

15．已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（O为坐标原点）的面积之和的最小值是__________．

16．已知函数和及其导函数和的定义域均为R，若 ，且为偶函数，下列结论正确的有________．

①                           ②函数的图象关于直线对称

③函数的图象关于直线对称         ④

三、解答题（共70分）

17．（10分）某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组整理后得到如下频率分布直方图．

（1）求图中x的值；

（2）用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率．

18．（12分）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上的最小值是，求a的值．

19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，D为棱BC的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．

20．（12分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且与E校于点A，B，与与校于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l．

（1）若，求；

（2）若，求点M到直线l的距离的最小值．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间

（2）当时，讨论函数的零点个数

22．（12分）已知直线与直线相交于点P，其中，设动点P的轨迹为曲线，直线恒过定点C．

（1）写出C的坐标，并求曲线的方程；

（2）若直线与曲线交于A，B两点，在x轴上是否存在定点N，使得恒成立?若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．

成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（理科）

考试时间120分钟，总分150分

一、BABCA   ADCCA  BB

二、900    32         ①②③

17．【答案】（1）    （2）

18．【答案】（1）    （2）

【详解】（1）当时，，所以切点为，

，则，

所以切线方程为，即．

（2），

若，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，不满足题意；

若，令，解得，令，解得，

所以函数在单调递减，单调递增，

所以，解得，满足题意；

若，则在上恒成立，

所以在上单调递减，

所以，解得，不满足题意，综上，．

19．【详解】（1）因为侧面、侧面均为正方形，

所以，又，AB、平面ABC，

所以平面ABC，又，所以平面ABC，

又平面ABC，所以．

由，D为棱BC的中点，所以，

又，BC、平面，

因此平面，又平面，

故平面平面﹔

（2）由（1）得是与侧面所成角，即，

令，所以，又，

所以，则．

以A为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则．所以．

设是平面的一个法向量、

则，即，取，

易知是平面的一个法向量，

则．

而平面与平面的夹角为锐角，

所以平面与平面的夹的余弦值为

20．【详解】（1）依题意，抛物线E的焦点为．且其在抛物线内部，设直线的方程为，

由，得，

设A，B两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，

所以，

所以点M的坐标为，

同理可得N的坐标为，

于是，

又，所以．

（2）结合（1），由抛物线的定义得，

所以，所以圆M的半径，

所以圆M的方程为，

化简得，

同理可得圆N的方程为，

于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，

又，则直线l的方程为，

所以点M到直线l的距离

故当时，d取最小值

21．【详解】（1）当时，，

当时，；当时，；当时，，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

（2），

令，得或，由于，

当时，，当时，，当时，．

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

，

令，得，

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和a；

令，得，

现说明，即，即显然成立

因为，故

当时，，又．

所以存在唯一，唯一，唯一，

使得，此时函数有3个零点，

当时，，又．

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2．

当时，，又．

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点．

综上所述，当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有1个零点．

22．已知直线与直线相交于点P，其中，设动点P的轨迹为曲线，直线，恒过定点C．

【详解】（1）直线恒过点，

设，因为点P在直线上，所以①

因为点P在直线上，所以②

①×②得：，

当时，即，

化简得：，

当时，不能使方程组成立，

即不在直线和直线上，所以点不在曲线上，

故曲线的方程为；

（2）设，

先检验A的坐标是否可以为，直线AC的斜率是否存在，

假设，则，解得：，

因为，故A的坐标不为，即直线AC的斜率存在，

同理可证B的坐标不为，即直线BC的斜率存在，

联立，

得，即，

由，解得，即，综上：，

则，

因为且，故直线AC和直线BC的斜率均存在，分别设为，

由

．

可知直线AC与直线BC关于对称，

故存在点，使得恒成立．