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数学七年级下册5 平方差公式课时作业
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这是一份数学七年级下册5 平方差公式课时作业，文件包含初一数学北师大版春季班第3讲乘法公式平方差公式--提高班教师版docx、初一数学北师大版春季班第3讲乘法公式平方差公式--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
第3讲 乘法公式一平方差公式
知识点1 平方差公式
平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．
【典例】
例1（2020秋•建华区期末）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣x﹣y） B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（m﹣n）（n﹣m）
【解答】解：A、不能用平方差公式，故本选项错误；
B、不能用平方差公式，故本选项错误；
C、能用平方差公式，故本选项正确；
D、不能用平方差公式，故本选项错误；
故选：C．
【方法总结】
本题考查了对平方差公式的应用，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
例2 （2020秋•喀什地区期末）计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
【解答】解：原式＝[m2﹣（2n）2]﹣（m2+8mn﹣mn﹣8n2）
＝（m2﹣4n2）﹣（m2+7mn﹣8n2）
＝m2﹣4n2﹣m2﹣7mn+8n2
＝4n2﹣7mn．
【方法总结】
本题主要考查了平方差公式以及多项式乘多项式，熟记公式和运算法则是解答本题的关键．
例3 （2020秋•普陀区期中）（x﹣2y）（x2+4y2）（x+2y）．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）（x+2y）（x2+4y2）
＝（x2﹣4y2）（x2+4y2）
＝x4﹣16y4．
【方法总结】
本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【随堂练习】
1．（2020秋•潮州期末）在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（A+B）（A﹣B） B．（α﹣β）（β+α）
C．（﹣a﹣b）（b+a） D．（﹣x+y）（y+x）
【解答】解：不能用平方差公式计算的是（﹣a﹣b）（a+b），
故选：C．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（12x2+13）（12x2-13）．
【解答】解：（12x2+13）（12x2-13）
＝（12x2）2﹣（13）2
=14x4-19．
3．（2020秋•浦东新区校级月考）（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）．
【解答】解：（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）
＝[（a+1）（a﹣1）]（a2﹣1）
＝（a2﹣1）（a2﹣1）
＝a4﹣2a2+1．
知识点2 利用平方差公式进行数的运算
在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；
例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．
【典例】
例1（2020秋•江宁区月考）计算202020202﹣20202018×20202021＝ 20202022 ．
【解答】解：原式＝202020202﹣（20202020﹣2）×（20202020+1）
＝202020202﹣（202020202+20202020﹣40404040﹣2）
＝202020202﹣202020202﹣20202020+40404040+2
＝20202022，
故答案为：20202022．
【方法总结】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
例2（2020春•娄星区期末）利用平方差公式计算12-223+32-427+52-6211+⋯+20192-202024039的结果为 ﹣1010 ．
【解答】解：原式=(1+2)×(1-2)3+(3+4)×(3-4)7+(5+6)×(5-6)11+⋯+(2019+2020)×(2019-2020)4039
＝（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
＝（﹣1）×1010
＝﹣1010．
故答案为：﹣1010．
【方法总结】
本题主要看出来平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•东西湖区期末）102×98＝ 9996 ．
【解答】解：102×98
＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996，
故答案为：9996．
2．（2020春•衢州期中）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝ 616-15 ．
【解答】解：根据题意得：原式=15×（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）
=15×（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）
=15×（64﹣1）（64+1）（68+1）
=15×（68﹣1）（68+1）
=15×（616﹣1）
=616-15．
故答案为：616-15
知识点3 平方差公式—几何背景
平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．
【典例】
例1 （2020秋•芜湖期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为 2m+4 ．
【解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2，
解得x＝2m+4．
则另一边长为2m+4，
故答案为：2m+4．
【方法总结】
本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积的两种表示方法列出等式是解题的关键．
例2（2020春•涉县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1-122）（1-132）（1-142）…（1-1492）（1-1502）．
【解答】解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）…（1-149）（1+149）（1-150）（1+150）=12×32×23×43×34×54×⋯×4849×5049×4950×5150=12×5150=51100．
【方法总结】
此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
例3 （2020春•通州区期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝ a2﹣b2 ，S₂＝ （a+b）（a﹣b） ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
【方法总结】
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2． （2020春•临泉县期末）图①所示是边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20192﹣2020×2018．
【解答】解：（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．
3．（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 3 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
综合运用
11
1.（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．
【解答】解：（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）
＝（1﹣a2）（1+a2）（a4+1）
＝（1﹣a4）（1+a4）
＝1﹣a8．
3．（2020•安徽一模）计算：3a（2﹣a）+3（a﹣3）（a+3）．
【解答】解：原式＝6a﹣3a2+3（a2﹣9）
＝6a﹣3a2+3a2﹣27
＝6a﹣27．
4．（2020春•太原期中）利用公式计算：20152﹣2014×2016．
【解答】解：20152﹣2014×2016
＝20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）
＝20152﹣（20152﹣1）
＝20152﹣20152+1
＝1．
5．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；
②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【解答】解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）
＝（28﹣1）•（28+1）
＝216﹣1；
②原式=12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（34﹣1）•（34+1）•（38+1）
=12（38﹣1）•（38+1）
=12×(316-1)；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
6．（2020秋•巩义市期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表示），即乘法公式中的 平方差 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.7×9.3
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
【解答】解：（1）图甲阴影面积＝a2﹣b2，图乙阴影面积＝（a+b）（a﹣b），
∴得到的公式为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；平方差；
（2）①10.7×9.3
＝（10+0.7）×（10﹣0.7）
＝102﹣0.72
＝100﹣0.49
＝99.51；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
＝（x﹣3z+2y）（x﹣3z﹣2y）
＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
7．（2020秋•昭阳区期末）乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表达）
（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2；
（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91．
日期：2021/1/27 22:11:39；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
第3讲 乘法公式一平方差公式
知识点1 平方差公式
平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．
【典例】
例1（2020秋•建华区期末）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣x﹣y） B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（m﹣n）（n﹣m）
【解答】解：A、不能用平方差公式，故本选项错误；
B、不能用平方差公式，故本选项错误；
C、能用平方差公式，故本选项正确；
D、不能用平方差公式，故本选项错误；
故选：C．
【方法总结】
本题考查了对平方差公式的应用，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
例2 （2020秋•喀什地区期末）计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
【解答】解：原式＝[m2﹣（2n）2]﹣（m2+8mn﹣mn﹣8n2）
＝（m2﹣4n2）﹣（m2+7mn﹣8n2）
＝m2﹣4n2﹣m2﹣7mn+8n2
＝4n2﹣7mn．
【方法总结】
本题主要考查了平方差公式以及多项式乘多项式，熟记公式和运算法则是解答本题的关键．
例3 （2020秋•普陀区期中）（x﹣2y）（x2+4y2）（x+2y）．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）（x+2y）（x2+4y2）
＝（x2﹣4y2）（x2+4y2）
＝x4﹣16y4．
【方法总结】
本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【随堂练习】
1．（2020秋•潮州期末）在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（A+B）（A﹣B） B．（α﹣β）（β+α）
C．（﹣a﹣b）（b+a） D．（﹣x+y）（y+x）
【解答】解：不能用平方差公式计算的是（﹣a﹣b）（a+b），
故选：C．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（12x2+13）（12x2-13）．
【解答】解：（12x2+13）（12x2-13）
＝（12x2）2﹣（13）2
=14x4-19．
3．（2020秋•浦东新区校级月考）（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）．
【解答】解：（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）
＝[（a+1）（a﹣1）]（a2﹣1）
＝（a2﹣1）（a2﹣1）
＝a4﹣2a2+1．
知识点2 利用平方差公式进行数的运算
在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；
例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．
【典例】
例1（2020秋•江宁区月考）计算202020202﹣20202018×20202021＝ 20202022 ．
【解答】解：原式＝202020202﹣（20202020﹣2）×（20202020+1）
＝202020202﹣（202020202+20202020﹣40404040﹣2）
＝202020202﹣202020202﹣20202020+40404040+2
＝20202022，
故答案为：20202022．
【方法总结】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
例2（2020春•娄星区期末）利用平方差公式计算12-223+32-427+52-6211+⋯+20192-202024039的结果为 ﹣1010 ．
【解答】解：原式=(1+2)×(1-2)3+(3+4)×(3-4)7+(5+6)×(5-6)11+⋯+(2019+2020)×(2019-2020)4039
＝（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
＝（﹣1）×1010
＝﹣1010．
故答案为：﹣1010．
【方法总结】
本题主要看出来平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•东西湖区期末）102×98＝ 9996 ．
【解答】解：102×98
＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996，
故答案为：9996．
2．（2020春•衢州期中）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝ 616-15 ．
【解答】解：根据题意得：原式=15×（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）
=15×（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）
=15×（64﹣1）（64+1）（68+1）
=15×（68﹣1）（68+1）
=15×（616﹣1）
=616-15．
故答案为：616-15
知识点3 平方差公式—几何背景
平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．
【典例】
例1 （2020秋•芜湖期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为 2m+4 ．
【解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2，
解得x＝2m+4．
则另一边长为2m+4，
故答案为：2m+4．
【方法总结】
本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积的两种表示方法列出等式是解题的关键．
例2（2020春•涉县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1-122）（1-132）（1-142）…（1-1492）（1-1502）．
【解答】解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）…（1-149）（1+149）（1-150）（1+150）=12×32×23×43×34×54×⋯×4849×5049×4950×5150=12×5150=51100．
【方法总结】
此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
例3 （2020春•通州区期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝ a2﹣b2 ，S₂＝ （a+b）（a﹣b） ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
【方法总结】
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2． （2020春•临泉县期末）图①所示是边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20192﹣2020×2018．
【解答】解：（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．
3．（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 3 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
综合运用
11
1.（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．
【解答】解：（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）
＝（1﹣a2）（1+a2）（a4+1）
＝（1﹣a4）（1+a4）
＝1﹣a8．
3．（2020•安徽一模）计算：3a（2﹣a）+3（a﹣3）（a+3）．
【解答】解：原式＝6a﹣3a2+3（a2﹣9）
＝6a﹣3a2+3a2﹣27
＝6a﹣27．
4．（2020春•太原期中）利用公式计算：20152﹣2014×2016．
【解答】解：20152﹣2014×2016
＝20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）
＝20152﹣（20152﹣1）
＝20152﹣20152+1
＝1．
5．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；
②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【解答】解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）
＝（28﹣1）•（28+1）
＝216﹣1；
②原式=12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（34﹣1）•（34+1）•（38+1）
=12（38﹣1）•（38+1）
=12×(316-1)；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
6．（2020秋•巩义市期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表示），即乘法公式中的 平方差 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.7×9.3
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
【解答】解：（1）图甲阴影面积＝a2﹣b2，图乙阴影面积＝（a+b）（a﹣b），
∴得到的公式为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；平方差；
（2）①10.7×9.3
＝（10+0.7）×（10﹣0.7）
＝102﹣0.72
＝100﹣0.49
＝99.51；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
＝（x﹣3z+2y）（x﹣3z﹣2y）
＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
7．（2020秋•昭阳区期末）乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表达）
（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2；
（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91．
日期：2021/1/27 22:11:39；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
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