初一数学北师大版春季班 第13讲等腰三角形--基础班 试卷

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第13讲 等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值
1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.
2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
例1 （2020秋•雨花区校级月考）下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（　　）
A．2，2，4 B．2，3，4 C．4，2，4 D．3，3，7
【解答】解：A、因为2+2＝4，所以本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项不符合题意；
B、因为这个三角形没有一组相等的边，所以构不成等腰三角形；故本选项不符合题意；
C、因为4﹣4＜2＜4+4，所以本组数据可以构成等腰三角形；故本选项符合题意；
D、因为3+3＜7，所以本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项不符合题意；
故选：C．
【方法总结】
此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．
例2 （2020秋•武都区期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（　　）
A．65°，65° B．80°，50°
C．65°，65°或80°，50° D．不确定
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
②当顶角∠A＝50°时，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠A）＝65°；
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，
故选：C．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时．
例3 （2020秋•朝阳区校级月考）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
【解答】解：∵当腰为6cm时，底边长＝20﹣6﹣6＝8（cm），
当底为6cm时，三角形的腰=12×（20﹣6）＝7（cm），
∴其他两边长为6cm，8cm或7cm，7cm．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
【随堂练习】
1．（2020秋•香坊区期末）等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
【解答】解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
2．（2020秋•松山区期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（　　）
A．40° B．55° C．65° D．70°
【解答】解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；
当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；
当∠B＝∠C时，∠C＝∠B=12×（180°﹣∠A）＝55°；
即∠C的度数可以是70°或40°或55°，
故选：C．
3．（2020秋•中山市期末）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长．
【解答】解：若腰长为6cm，则另一腰的长也为6cm，则底边长为28﹣6﹣6＝16cm，
此时三角形的三边为6cm，6cm，16cm，
∵6+6＜16，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
若底边长度为6cm，则两腰的长度为28-62=11（cm），
∴此时其他两边的长度为11cm，11cm．

知识点2 等腰三角形的性质---边角关系
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），
即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.
【典例】
例1 （2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为（　　）

A．30° B．25° C．15° D．10°
【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．
故选：C．
【方法总结】
考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出∠ACB和∠BCD的度数．
例2 （2020秋•和平区期末）如图，AB∥CD，点E是线段AC上一点，且AB＝AE，CD＝CE．求∠BED的大小．

【解答】解：∵AB＝AE，CD＝CE，
∴∠AEB＝∠B，∠CED＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵（∠A+∠B+∠AEB）+（∠C+∠D+∠CED）＝180°+180°＝360°，
∴2∠AEB+2∠CED+（∠A+∠C）＝360°，
∴2（∠AEB+∠CED）＝180°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠AEB+∠CED）＝90°．
【方法总结】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（　　）

A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【解答】解：设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+12x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+14x，
依题意有12.5°+14x+x+130°＝180°，
解得x＝30°．
故选：D．
2．（2020秋•崆峒区期末）如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（　　）

A．54° B．60° C．72° D．76°
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
3．（2020秋•莫旗期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．

【解答】解：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
知识点3 等腰三角形的性质---三线合一
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
【典例】
例1 （2020秋•安徽月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB，求证：CD平分∠ACB．

【解答】证明：∵CD⊥AB，
∴△ACD和△BCD都是直角三角形，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
AC=BCCD=CD，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL），
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB．
【方法总结】
考查了等腰三角形的性质，解题的关键是证明三角形全等，难度不大．
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例2 （2020春•浦东新区校级期末）阅读并填空：
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且CE∥BF，试说明DE＝DF．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝　CD　（　等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合　），
∵CE∥BF，
∴∠CED＝　∠BFE　（　两直线平行，内错角相等　）．
（完成以下说理过程）

【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，（ 等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合），
∵CE∥BF，
∴∠CED＝∠BFE，（两直线平行，内错角相等），∠EDC＝∠BDF，
在△BFD和△CED中，∠CEF=∠BFE∠EDC=∠FDBBD=CD，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形对应边相等）．
故答案为：CD，等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合，∠BFE，两直线平行，内错角相等．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等．


【随堂练习】
1．（2020春•浦东新区期末）如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．

【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°．
知识点4 等腰三角形的判定与性质
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
【典例】
例1（2020•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，DE∥AB．交AC于点E，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F．
求证：F为线段CD中点．

【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B．
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC．
∵EF⊥BC，
∴点F为线段CD中点．
【方法总结】
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据根据等腰三角形的性质和平行线的性质解答．
例2（2020春•延庆区期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
求证：AC＝DE+DF．

【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∴DF＝EA，
∴AC＝AE+EC＝DE+DF．
【方法总结】
本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明ED＝EC，DF＝EA，是解决问题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•凤翔县期末）如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，它们相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，试求∠BOC度数．

【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠EBO＝∠OBC=12∠ABC＝25°，
∠FCO＝∠OCB=12∠ACB＝30°，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°．
2．（2020春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　15　．

【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，
∴BM＝OM，CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．
故答案为：15．

综合运用
1．（2020秋•永吉县期末）等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）
A．11cm B．13cm C．11cm或13cm D．不确定
【解答】解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+3+5＝11cm，
②3cm是底边长时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+5+5＝13cm，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：C．
2．（2020秋•铜梁区校级期中）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠DCE的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠DCE＝∠ACD＝50°，
故选：C．
3．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　20　度．

【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED=12（180°﹣∠B）＝70°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
4．（2020秋•吉林期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．

【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB=12（180°﹣30°）＝75°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C=12∠ADB＝37.5°．
∴∠B＝75°，∠C＝37.5°．
5．（2020秋•越秀区校级期中）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，AB＝AC，∠B＝∠BAD＝36°，试求∠DAC的度数．

【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝∠BAD＝36°，
∴∠C＝∠B＝36°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝36°+36°＝72°，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣36°﹣72°＝36°．
6．（2020秋•仙桃校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．
【解答】解：∵等腰三角形的周长是15+18＝33（cm），
设等腰三角形的腰长为xcm、底边长为ycm，由题意得：
x+12x=1512x+y=18或x+12x=1812x+y=15，
解得x=10y=13或x=12y=9，
∴等腰三角形的底边长为13cm或9cm．
7．（2020秋•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．

【解答】（1）解：△AMN是是等腰三角形，
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）①证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM＝∠PBC，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC
∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，
同理可得：NC＝NP，
∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，
∵△ABC的周长为a，BC＝b，
∴AB+AC+b＝a，
∴AB+AC＝a﹣b
∴△AMN的周长＝a﹣b．
8．（2020春•东坡区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝　60°　；（直接写出答案）
（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON＝x°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO﹣∠ACF的度数．（用含x的代数式表示）

【解答】解：（1）∵∠MON＝60°，
∴∠BAO+∠ABO＝120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）＝60°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠MON＝n°，
∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）＝90°-12n°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°-12n°；
（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF＝∠CAG，
∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°-12x°．