初一数学北师大版春季班 第13讲等腰三角形--尖子班 试卷

第13讲  等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值

1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.

2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

【典例】

例1（2020秋•卫辉市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是________．

【方法总结】

此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．

例2 （2020秋•九龙县期末）等腰三角形的周长为14，其一边长为3，那么，它的底边长为________．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．

例3 （2020秋•荔城区校级期中）（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．

（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1，x+1，3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•虎林市期末）已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为________．

2．（2020秋•盘龙区期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为________________．

3．（2020秋•乐亭县期末）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0

（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．

（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．

（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．

知识点2 等腰三角形的性质---边角关系

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），

即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.

【典例】

例1（2020秋•河南期末）如图，AB＝AC，CD＝CE．过点C的直线FG与DE平行，若∠A＝38°，则∠1为（　　）

A．42° B．54.5° C．58° D．62.5°

【方法总结】

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等边对等角解答．

例2 （2020秋•江夏区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，M，N为BC上两点，且∠BAM＝∠CAN，∠MAN＝∠AMN，求∠MAC的度数．

【方法总结】

本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

【随堂练习】

1.（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，BF⊥AC于点F．

（1）若∠A＝36°，求∠FBC的度数；

（2）若点D在边AB上，DE∥BC交BF的延长线于点B，求证：DB＝DE．

2．（2020秋•云梦县期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD平分∠ABC，BE是AC边上的高，求∠DBE的度数．

知识点3  等腰三角形的性质---三线合一

等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,

上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.

即①②，③；②①，③；③①，②.

【典例】

例1 （2020秋•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；

（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

例2 （2020秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，CA＝CB，点D是AB边的中点．

（1）若∠B＝38°，求∠ACD的度数；

（2）若点E在边AC上，EF∥BC交CD的延长线于点F．求证EC＝EF．

【方法总结】

考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”的性质，难度不大．

【随堂练习】

1．（2020春•碑林区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．

（1）∠1＝∠2＝________°．

（2）∠1与∠3相等吗？为什么？

（3）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．

知识点4  等腰三角形的判定与性质

1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.

2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

【典例】

例1（2020•青山区校级模拟）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，求FG．

【方法总结】

本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．

例2 （2020春•舞钢市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．

例3 （2020•江干区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．

（1）若∠CAD＝α，求：

①∠BCA的大小；

②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）

（2）求证：AC＝FC．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．

（1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明；

（2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？

2．（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．

（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；

（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．

3．（2020秋•开福区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．

（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．

（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）

（3）判断△ACF的形状，并说明理由．

综合运用

1．（2020秋•永吉县期末）等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）

A．11cm B．13cm C．11cm或13cm D．不确定

2．（2020秋•铜梁区校级期中）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠DCE的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．65°

3．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为________度．

4．（2020秋•吉林期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．

5．（2020秋•越秀区校级期中）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，AB＝AC，∠B＝∠BAD＝36°，试求∠DAC的度数．

6．（2020秋•仙桃校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．

7．（2020秋•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．

（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；

（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．

①求证：△BPM是等腰三角形；

②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．

8．（2020春•东坡区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．

（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝________；（直接写出答案）

（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）

（3）如图2，若∠MON＝x°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO﹣∠ACF的度数．（用含x的代数式表示）