专题14 计数原理、随机变量及其分布-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题14 计数原理、随机变量及其分布

1．（2022·江苏无锡·模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（       ）

A．84 B．56 C．35 D．21

【答案】B

【解析】解：因为二项式为，

所以其展开式中，含项的二项式系数为：

，

，

，

，

，

.

故选：B

2．（2022·吉林·东北师大附中模拟（理））某中学响应国家双减政策，开设了乓乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（       ）

A．60种 B．78种 C．54种 D．84种

【答案】C

【解析】根据题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，

则每位同学每年所修课程数为：1,1,2或0,2,2；

先将4门课程按照1,1,2分成三组有：种方法，

再分到三个学生，有种方法，

所以不同的选修方法有：种；

再将4门课程按照0,2,2分成三组有：，

再分到三个学生，有种方法，

所以不同的选修方法有：种，

所以共有：种.

故选：C.

3．（2022·江苏·盐城中学模拟）某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及以下，就判定敌机被击落．对空导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣除敌机60%耐久度．假设训练者使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部位的命中率为25%，未命中的概率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】用分别表示命中机头，命中非头部位和未命中三个事件，则

又训练者每次是否击中敌机相互独立，利用独立事件乘法公式及互斥事件加法可得训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率：.

故选：D.

4．（2022·广东佛山·三模）高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（       ）

参考数据：若，则，．

A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668

【答案】A

【解析】根据题意

则考生分数超过520分的概率

根据题意可得，则

故选：A．

5．（2022·江苏·盐城中学模拟）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（       ）

A．833 B．884 C．5050 D．5151

【答案】A

【解析】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，

因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，

所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个

因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，

所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.

故选：A

6．（2022·湖南岳阳·模拟）下列选项中，说法正确的是（　　）

A．若 ，则

B．向量，（m∈R）垂直的充要条件是m＝1

C．命题“ ”的否定是“ ”

D．某辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛．要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为80.

【答案】D

【解析】对于A，当时，，∴A错误；

对于B，向量，垂直的充要条件m+m（2m﹣1）＝0，解得m＝0，∴B错误；

对于C，命题“”的否定是“”，∴C错误；

对于D，5人的代表队中至少一名男生，且女生人数要比男多，分2种情况讨论：

①5人的代表队中有2男3女，有 种选法，

②5人的代表队中有1男4女，有种选法，则一共有60+20＝80种选法，D正确，

故选：D.

7．（2022·辽宁·鞍山一中模拟）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．1.5

【答案】B

【解析】解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.

则；；

；.

所以.

故选：B

8．（2022·湖北·襄阳五中二模）在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.

9．（2022·重庆南开中学模拟）（多选题）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（       ）

A．如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列

B．如果是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列

C．如果是合法括号序列，则A也是合法括号序列

D．长度为8的合法括号序列共有14种

【答案】AD

【解析】出题意知如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列,A正确;

对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；

对于C, 如果是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，

但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；

对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，

分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；

（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，6，7个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有个；

（3）当前4个位置有2个左括号时，

则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，满足条件序列共有个，综上，共有个，D正确，

故选：AD．

10．（2022·江苏泰州·模拟）（多选题）若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】当时，，故A对；

，B对；

令，则，

∴，故C错；

对等式两边求导，

即

令，则，

∴，故D对，

故选：ABD．

11．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟）（多选题）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（       ）

A． B．

C．X的期望 D．X的方差

【答案】CD

【解析】由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每次取到白球的概率为，

取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，

则记4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，

则知，A错误；

，B错误；

X的期望，C正确；

X的方差，D正确，

故选：CD．

12．（2022·重庆南开中学模拟）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（       ）

A．甲从到达处的方法有种

B．甲从必须经过到达处的方法有种

C．甲、乙两人在处相遇的概率为

D．甲、乙两人相遇的概率为

【答案】BCD

【解析】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，

则甲从到达处的方法有种，A选项错误；

B选项，甲经过到达处，可分为两步：

第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；

第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.

甲经过到达的方法数为种，B选项正确；

C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，

甲、乙两人在处相遇的方法数为，

甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；

D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；

若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；

若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，

乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，

所以，两人在处相遇的走法种数为种；

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；

故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确.

故选：BCD.

13．（2022·上海·华师大二附中模拟）5个同学报名参加志愿者活动，每人可从3项活动中任选一项参加.则其中恰有2项活动有同学报名的概率是 __________.

【答案】

【解析】全部可能的报名情况数为种，

恰有2项活动有人报名可以看作先从3个项目中选出2个，有 种选法，

然后再让5名同学参加，则共有 种方法，

但必须减去5名同学都参加其中一个这种情况， ，

故恰有2项活动有同学参加有 种情况，其概率为 ；

故答案为： .

14．（2022·福建省福州第一中学三模）产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________.

【答案】

【解析】设：第次通过，：第次通过.

由题意知，

即，

解得或（舍去）.

故答案为：.

15．（2022·山西吕梁·二模（文））在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．

【答案】

【解析】至少射击4次合格通过的概率为，

所以，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，

当时得最大值，故．

故答案为：

16．（2022·浙江·模拟）已知，则=__________，=_____________．

【答案】         

【解析】由题设，，则，即；

对等式两边求导得：，

∴当时，.

故答案为：-240；0