第13练 三角恒等变换-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题04  三角函数

第13练 三角恒等变换

1．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可得，

解得（舍去），或.

故选：A.

2．（2022·北京·二模）已知角的终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题设，而.

故选：A

3．（2022·广东北江实验学校模拟）若，则=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：因为，，所以，

所以＝.

故选：D．

4．（2022·江苏·二模）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：由得，,

所以,解得.

故选：A.

5．（2022·海南·模拟）函数在区间上的最大值是__________．

【答案】

【解析】,当时,,当时,有最大值,且最大值为.

故答案为:

6．（2022·重庆·三模）___________.

【答案】

【解析】解：原式=.

故答案为：

7．（2022·重庆市求精中学校一模）若，且为第二象限角，则________.

【答案】

【解析】由题意，得，

∵为第二象限角，∴，∴，

∴.

故答案为：.

1．（2022·全国·高考真题）若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由已知得：,

即：，

即：,

所以,

故选：C

2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟）已知角的终边过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，

.

故选：D.

3．（2022·湖北·黄冈中学模拟）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（       ）

A．－4 B．－2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】．

故选：B．

4．（2022·山东临沂·三模）已知，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，，

所以.

故选：C.

5．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟）函数的最大值为______．

【答案】13

【解析】

，

令，

所以可得

所以由正弦函数的性质可知的最大值为.

故答案为:

6．（2022·山东泰安·模拟）若，，，则___________.

【答案】1

【解析】由题意得，，

化简得：，解得或，

因为，所以.

故答案为：1.

7．（2022·江苏扬州·模拟）___________．

【答案】

【解析】．

故答案为：．

8．（2022·湖南·长郡中学模拟）已知函数，若函数的图像在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】，

由，得，

要使函数的图像在区间上恰有2个零点，则，

所以

故答案为：

1．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：． 若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

因为，所以当时，取得最大值，即

所以，即

因为，所以的中点是函数的对称中心，

由，得

所以，

所以

易知，当时取得最小值.

故选：C

2．（2022·江苏无锡·模拟）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（       ）

A．9 B．10 C． D．

【答案】C

【解析】解：如图所示：连接，

因为中间阴影部分是正方形且边长为2，

所以可得，，，

所以，

在中由余弦定理可得，

所以，

设的夹角为，的夹角为，

= =-,

当在所对的优弧上时，，

所以，，

=,

所以=-＝＝ ,（其中）

所以最大值为；

当在所对的劣弧上时，，

所以，，

=,

所以=-＝＝ ,（其中）

所以最大值为；

综上所述：最大值为.

故选：C.

3．（2022·浙江·模拟）如图所示的是函数的图像，则函数可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．

若，则，所以函数为偶函数，

与条件矛盾，A错，

若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，

若，则，

当时，，与所给函数图象不一致，D错，

若，则，

当时，，

又， ，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，

故选：C．

4．（2022·福建省福州第一中学三模）若，且，则（       ）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【解析】，故，

可解得或，又，故，故，

故选：D

5．（2022·湖北省仙桃中学模拟）若函数，则（       ）

A．为偶函数 B．的图像关于 对称

C．在上有4个零点 D．在上单调递减

【答案】ABD

【解析】由题意，.

对A，，A正确；

对B，，则函数的图像关于对称，B正确；

对C，令，而，则或或或或，C错误；

对D，时，，，且当x增大时，减小，此时减小，即函数为减函数，D正确.

故选：ABD.

6．（2022·重庆八中模拟）已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．该函数的最大值为2

B．该函数的最小正周期为

C．是该函数的一个对称中心

D．该函数的对称轴为

【答案】BCD

【解析】解：函数，且函数，即，

对于A，当时，取得最大值2，但函数中，故A不正确；

对于B，因为，其中，所以该函数的最小正周期为，故B正确；

对于C，因为，所以是该函数的一个对称中心，故C正确；

对于D，因为当时，取得最值，所以该函数的对称轴为，故D正确，

故选：BCD.

7．（2022·福建·三明一中模拟）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】，

方程在内有实数根，即在内有实数根，

，，得，即a的取值范围是，

故答案为：

8．（2022·山东师范大学附中模拟）已知，则________.

【答案】

【解析】因为，，

所以，

所以

，所以，

，所以，

则.

故答案为：.

9．（2022·湖南师大附中三模）已知，则_________.

【答案】

【解析】由题意得，而，

故，，

故.

故答案为：

10．（2022·重庆·三模）任何一个复数（i为虚数单位，）都可以表示为的形式，通常称之为复数z的三角形式.瑞士著名数学家欧拉首先发现（e为自然对数的底数），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.因此可得.由复数相等可知对，存在一个关于t的n次多项式使得，这样的多项式被称为“切比雪夫多项式”，由知，则___________；运用探求切比雪夫多项式的方法可得___________.

【答案】         

【解析】

，

所以，

取，则，

所以，

所以，则且，解得： .

故答案为：，