第20练 复数的运算和三角表示-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题06  复数

第20练 复数的运算和三角表示

1．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（       ）

A．1 B．5 C．7 D．25

【答案】B

【解析】由题意有，故．

故选：B．

2．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟）复数，在复平面内z的共轭复数所对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】复数，则z的共轭复数，复平面内对应点坐标为

则所对应的点在第三象限

故选：C

3．（2022·山东聊城·三模）若复数z满足，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

因为，则，所以，，解得，

因此，复数的虚部为.

故选：B.

4．（2022·北京市第五中学三模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】的共轭复数为

对应点为，在第四象限，故选D.

5．（2022·上海·模拟）已知（其中i为虚数单位），则___________；

【答案】

【解析】因为，所以，

所以，

故答案为：

6．（2022·天津·静海一中模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则________

【答案】

【解析】由得,所以,故.

故答案为:

1．（2022·全国·高考真题）若，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】由题设有，故，故，

故选：D

2．（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由题意可知，，

所以复数的虚部为.

故选：A.

3．（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵复数z在复平面内对应的点为，

∴，，

.

故选：B．

4．（2022·江苏无锡·模拟）已知复数z满足，则（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【解析】依题意，，则有，于是得，

所以.

故选：D

5．（2022·湖北·一模）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（       ）

A． -1 B．1 C．- D．

【答案】A

【解析】由题意得：，

故选：A

6．（2022·湖南岳阳·模拟）已知复数z满足，则_____________

【答案】4

【解析】因为，所以，

所以，

故答案为：4

7．（2022·天津·耀华中学二模）已知i为虚数单位，则复数___________.

【答案】.

【解析】，

故答案为：.

8．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知复数，则＝________．

【答案】

【解析】，故

故答案为：

1．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟）若复数满足 ，则（       ）

A． B．

C．1 D．

【答案】A

【解析】由题意，得，

故，

故选：A

2．（2022·湖北·黄冈中学模拟）已知复数，则（       ）

A． B．4 C． D．10

【答案】A

【解析】复数，则，

故，

故选：A

3．（2022·北京东城·三模）在复平面内，复数，则对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】解: ,故,

所以,对应的点为,位于第二象限.

故选：B

4．（2022·江苏·南京师大附中模拟）设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】由题意得，即，

故，其对应的点 在第四象限，

故选：D

5．（2022·海南华侨中学模拟）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（       ）

A．复数的虚部为

B．

C．

D．复数的共轭复数为

【答案】BCD

【解析】设复数.

因为，且复数z对应的点在第一象限，

所以，解得：，即.

对于A：复数z的虚部为.故A错误；

对于B：.故B正确；

对于C：因为，所以.故C正确；

对于D：复数z的共轭复数为.故D正确.

故选：BCD

6．（2022·江苏南京·模拟）在复数范围内，下列命题不正确的是（       ）

A．若是非零复数，则不一定是纯虚数

B．若复数满足，则是纯虚数

C．若，则且

D．若，为两个复数，则一定是实数

【答案】BCD

【解析】对于A，设(，)，，，但有可能，就不一定是纯虚数，故A正确；

对于B，设(，)，，，

由条件可知，即，所以 ，

因为，可同时为0，所以z不一定是纯虚数，故B错误；

对于C，若，，，故C错误；

对于D，设，（，，，)，则，

所以不一定是实数，故D不正确．

故选:BCD．

7．（2022·上海·位育中学模拟）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.

【答案】5

【解析】设，，则，

变形为，两边平方后得到，

两边平方后得到，将代入，

即，故，

则，

当时，取得最大值，最大值为5

故答案为：5

8．（2022·浙江·杭州高级中学模拟）设，则__________.

【答案】4

【解析】，则，

故，

故答案为：4

9．（2022·天津·模拟）已知复数的实部和虚部相等，则___________．

【答案】

【解析】依题意，，于是得，解得，则，

所以..

故答案为：

10．（2022·浙江·镇海中学模拟）欧拉公式把自然对数的底数e､虚数单位i､三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数z满足，则z的虚部是___________，___________.

【答案】         

【解析】由，得，

则由，得，

故z的虚部是，.

故答案为：；