中考几何模型压轴题 专题6《轴对称之最短路径》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题6《轴对称之最短路径》

破解策略

    用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问

题．常见的题型有：

1．已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小．

作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P

2．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小

作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P

3．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大

作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P

4．已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于

所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小，

作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A"，

连结A"B，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则

此时AC'＋CD＋DB最小．

5．已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．

作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，

OM的交点就是点Q，R．

6．已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小

作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'QON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．

7．已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．

作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连

纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．

例题讲解

   例1  （1）如图1，等边△ABC中，AB＝2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BP＋EP的值最小，并求BP＋PE的最小值．

  （2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．

（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．

图1                         图2                         图3

解   

（1）（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P）；

  （2）（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P）；

  （3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．

    如图，连结BE，BF，

∠EBF＝2∠ABC＝2α，BE＝BF＝BP＝m．

过点B作BH⊥EF于点H，

所以∠EBH＝∠EBF＝α，EH＝FH．

在Rt△BEH中，sinα＝，

所以EH＝BE·sinα＝m·sinα，

所以EF＝2m·sinα，

即PM＋PN＋MN＝EF＝2m·sinα．

例2  如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，求PM＋PN的最小值．

解  如图，作⊙A关于x轴的对称图形⊙A´，连结A´B，与x轴交于点P，与⊙A´交点为M´，与⊙B交点为N，连结PA，PA与⊙A交点为M，则此时PA＋PB值最小，从而PM＋PN值也最小，最小值为线段M´N的长．

如图，易得A´（2，－3），由两电间距离公式得A´B＝5．

故M´N＝5－4，即PM＋PN＝5－4．

例3  如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点．

P，N 分别是BE，BC上的动点．

图1                         图2

（1）当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

（2）如图2，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN＋NP＋PD的最小值．

图3                        图4

 解  （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D´在AB上，且为AB的中点．

    如图3，过点D´作BC的垂线，垂足为N´，D´N交BE于点P，连结PD´，则PD´＝ PD．

    此时D´N的长度即为PN＋PD长度的最小值．

    显然D´N∥AD，即点N为BD的中点．

    所以BN＝BC＝，

从而BP＝＝．

（2）如图4，作点Q关于BC的对称点Q´，则BQ´＝1，∠CBQ´＝30°．

点D´是点D关于BE的对称点，连接D´Q´，交BE于点P，交BC于点N．

    此时D´Q´即为QN＋NP＋PD的最小值．

    显然∠D´BQ´＝90°，

    所以D´Q´＝＝，

    即QN＋NP＋PD的最小值为．

进阶训练

1．两平面镜OM，ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由．

答案：

作点A关于OM的对称点A´，作点B关于ON 的对称点B´，连接A´B´，与OM，ON分别交于点D，C．光线行进路线如图．

2． （1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ， 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

解：（1）如图，过点B作BB’垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置．

（2）如图，过点A作AA’垂直于距点A较近的河岸，且使AA’长等于该河宽，同样，过点B作BB’垂直于距点B较近的河岸，且使BB’长等于河宽，连接A’B’分别交两条河相邻的河岸于点N， P， 过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M， 过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q， 则MN， PQ即为架桥最合适的位置．

图1                                  图2

3． 如图，直线分别与x轴， y轴交于点A， B，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C． 若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．

提示：作点C关于对称轴x＝1的对称点C’， 则C’（2，1）． 过点C’作C’F⊥AB于点F， 且于对称轴交于点E， 此时FC’的长为CE＋EF的最小值． 连接C’B， C’A， 作C’K⊥x轴于点K， 则S△ABC＝S△ABD＋S△梯形C’KOB－S△C’KA＝ABFC’，解得FC’＝， 则CE＋EF的最小值是．