中考几何模型压轴题 专题7《旋转之求线段最值》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题7《旋转之求线段最值》

破解策略

用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题

如图，线段OA， OB为定长，则A， B， O三点共线时，AB取得最值： 当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋OB．

常见的题型有：

1． 如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．

取AB中点D， 连接OD， CD． 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．

2． 如图，等边△ABC大小固定，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．

取AB中点D， 连接OD， CD． 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．

3． 如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．

取AB中点D， 连接OD， CD． 当O， C， D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．

例题讲解

例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝． 若BC＝6， 点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．

解：在Rt△ABC中，AC＝＝12，AB＝6．

①     如图1，当AD＝AC时，取AB的中点F，连接EF和CF， 则CF＝AB＝，

EF＝AD＝2． 所以当且仅当C， E， F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，

此时CE＝CF＋EF＝2＋3．

                                                                 图1

② 如图2，当AD＝AC时，同理可得CE的最大值为4＋3．

综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋3．

图2

例2  以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝30°．如图，若BO＝，点N在线段OD上，且NO＝2，P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为________，最大值为________．

解：－2；＋2．

过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝OB＝．

故当点P在点E处时，OP长度取最小值；当点P在点B处时，OP长度取最大值．

①当△AOB绕点O旋转到O，E，D三点共线，且点E在线段OD上时，PN取最小值，即OE－ON＝－2；

②当△AOB绕点O旋转到O，B，D三点共线，且点B在线段DO的延长线上时，PN取最大值，OB＋ON＝＋2．

所以线段PN长度的最小值为－2，最大值为＋2．

进阶训练

1． 已知△AOB和△COD是等腰三角形，其中BA＝BO＝2，CD＝CO＝3，∠ABO＝∠DCO．连结AD，BC，M，N分别为OA，BC的中点．若固定△AOB，将△COD绕点O旋转，求MN的最大值．

【答案】．

【提示】如图，取OB的中点E，连结EM，EN，则EM，EN为定值，当点E在线段MN上时，MN取最大值．

2． 已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）设BC的中点为M，求线段PM的长；

（2）求点P到AB所在直线的距离的最大值．

【答案】（1）；（2）1＋．

【提示】（1）易证△E1AC≌△D1AB，所以∠E1CA＝∠D1BA，从而可得∠BPC＝∠BAC＝90°，所以PM＝BC＝．

（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．

3． 已知：正方形ABCD的边长为1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使得PC＝？请说明理由．

【答案】不存在满足条件的点P，使得PC＝．

【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以AP⊥BN．以AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OP＋PC≥OC，从而PC≥，所以不存在满足条件的点P，使得PC＝．