福建省连城县第一中学2023届高三下学期周考（二）数学试卷（含答案）

这是一份福建省连城县第一中学2023届高三下学期周考（二）数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省连城县第一中学2023届高三下学期周考（二）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，，则(   )A. B. C. D.2、已知复数为纯虚数，且，则(   )A. B. C.或 D.或3、在中，若、分别是方程的两个根，则(   )A. B. C. D.4、已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比(   )A.1或 B.或 C.或2 D.1或5、目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为.已知公司男、女员工的人数比例为，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为(   )A. B. C. D.6、已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则(   )A. B.2 C. D.37、已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则(   )A. B. C. D.8、已知函数为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列说法正确的的有(   )A.若一组数据，，，…，的方差为10，则，，，…，的方差也为10B.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4C.已知随机变量X服从正态分布，若，则D.已知随机变量X服从二项分布，若，则10、圆，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是(   )A.直线l与圆C相交B.若点P到直线l的距离为3，则点P有2个C.的最小值是1D.从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是211、已知函数(其中，)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为，则(   )A.  B.在区间内单调递增C.的图像关于点对称 D.的图像关于直线对称12、已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，E为内部(含边界)的动点，则(   )A.平面B.球O的表面积为C.的最小值为D.与平面所成角的最大值为三、填空题13、的展开式中项的系数是________.(用数字作答)14、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若(O为坐标原点)的面积为，则双曲线的渐近线方程为__________.15、现为一球形水果糖设计外包装，要求外包装是全封闭的圆锥形，若该水果糖的半径为1cm，则外包装圆锥的体积最小值是________.16、对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________.四、解答题17、已知数列各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求.18、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.(1)求B；(2)已知点D在边AC上，且是的角平分线，，求的最小值.19、近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)；(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望.20、如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点.(1)证明：；(2)是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.21、已知椭圆的左右焦点分别为，,椭圆C经过点，且直，与圆相切.(1)求椭圆C的方程；(2)直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围.22、若函数有两个零点，，且.(1)求a的取值范围；(2)若在和处的切线交于点，求证：.
参考答案1、答案：A解析：由可知集合，所以，故选A.2、答案：C解析：设(a，)，则，因为复数为纯虚数，所以解得又，所以或，解得或，所以或.故选C项.3、答案：B解析：解：在中，若，分别是方程的两个根，则，，又，则，即，，则，，即，故选：B.4、答案：C解析：，，成等差数列，，即，整理得，即，，，解得或，故选：A.5、答案：D解析：设公司男、女员工的人数分别为2n和n，则男员工中，肥胖者有人，女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件A，肥胖者为男性为事件B，则，，则.故选：D.6、答案：B解析：解：过B作，垂足为E，，垂足为H.又，所以四边形BEDH为矩形，所以.因为，所以，所以.由抛物线的定义，可得，，所以，即.故选B.7、答案：D解析：由题意知是向量与向量的夹角，，，，，，则.故选D项.8、答案：A解析：因为，所以，构造函数，当时，，在区间内单调递增，且，又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，所以在区间内单调递减，且.不等式整理得，即，当时，，则，解得；当时，，则，解得，又，所以.综上，不等式的解集为.故选A项.9、答案：AC解析：对于A：设，，，…，的平均数为，方差为，则，，所以，，，…，的平均数为，所以方差为，故选项A正确；对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B错误；对于C：因为防机变量x服从正态分布，所以对称轴为，又，而，所以，则，做选项C正确;对于D：因为X服从二项分布，所以，所以，则，故选项D错误.故选：AC.10、答案：BC解析：圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，故直线1与圆C相离，A错误；的最小值是，最大值是，故点P到直线l的距离为3时，点P有2个，B正确，C正确；设Q点向圆C引切线QT，，最小时，即最小，的最小值为圆心到直线的距离，此时，D错误.故选：BC.11、答案：AB解析：令，则，所以，或，，解得，或，，所以的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，所以，解得，所以，所以的周期，当时，，令，即，又，所以或，所以或，由得，所以，，A项正确；由，得，所以在区间内单调递增，B项正确；，所以的图像不关于点对称，C项错误；，所以的图像不关于直线对称，D项错误.故选AB项.12、答案：ACD解析：解：对于选项A：连结BD，AC，交于点F，则，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面BDC，故A正确：对于选项B：如图，易知，从而F为球O的球心，且半径为，所以球O的表面积为，故选项B错误；对于选项C：易得平面，且平面，从而平面平面，连结，交于点G，则，，又平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，故，所以，故选项C正确；对于选项D：因为平面，垂足为G，所以为直线到平面的距离，从而点A到平面的距离为.设直线AE与平面所成的角为，则，因为，所以，所以，故选项D正确.综上，可得正确的选项为ACD.13、答案：解析：展开式的通项为，取得到，故的展开式中项的系数是.故答案为：.14、答案：解析：设双曲线的左，右焦点分别为，，不妨设曲线的一条渐近线的方程为，因为过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，则，所以直线的方程为，，联立，解得，则，即，即，化简可得，故，所以曲线的渐近线方程为，故答案为：.15、答案：解析：设圆锥体包装盒的底面半径为r，高为h，如图为圆锥体的轴截面，由题意可得，所以，所以，得，所以包装盒的体积为，当且仅当，即时取答号，所以外包装圆锥的体积最小值为，故答案为：.16、答案：解析：恒成立，恒成立，令，，，，在，，即，，，，，在，，，.17、答案：(1)数列的通项公式是(2)解析：(1)由得：，而，，因此，即数列是首项，公差的等差数列，，所以数列的通项公式是.(2)由(1)知，，则有，所以.18、答案：(1)(2)解析：(1)由及正弦定理得，，因为，所以，又，所以.(2)因为是角平分线，所以，又，代入数据得，，化简得，，所以，所以，当且仅当时，等号成立.即的最小值为.19、答案：(1)方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎(2)第80百分位数为85分(3)分布列见解析，数学期望是4解析：(1)设A小区方案一满意度平均分为，则，设B小区方案二满意度平均分为，则，因为，所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(2)因为前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，所以第80百分位数在第5组，设第80百分位数为x，则，解得，所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分.(3)由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为0.8，低于70分的频率为0.2，现从B小区内随机抽取5个人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，，X的分布列为X01234P由二项分布知.20、答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)O为的中点，，，平面平面，平面，；(2)由(1)得平面，以点O为原点，，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可得，，，，，设是平面的一个法向量，则，令，则，由题意可知是平面的一个法向量，，，，，，直线与平面所成角的正弦值为.21、答案：(1)(2)解析：(1)椭圆C经过点，，由题意得直线的方程为，即，直线与圆相切，，，，椭圆C的方程为；(2)设，，点是的中点，由得，，，，，，直线的方程为，点M的横坐标为，，，.点M的横坐标的取值范围为.22、答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)，当，，在上单调递减，不可能两个零点；当时，令得，，，单调递增，，，单调递减，，；；，，有唯一零点且有唯一零点，满足题意，综上：；(2)先证右边：令，则，，，单调递增，，，单调递减，的最大值为，，即，且，，又，，；再证左边：曲线在和处的切线分别是，，联立两条切线得，，由题意得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，，在单调递减，，得证.综上：.