辽宁省县级重点高中2023届高三下学期第一次模拟数学试卷（含答案）

辽宁省县级重点高中2023届高三下学期第一次模拟数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知，则(   )

A. B. C. D.

3、已知，，且，则(   )

A. B. C. D.

4、已知双曲线E：的实轴长为，则E的离心率为(   )

A. B. C. D.

5、已知直线是函数()图象的一条对称轴，则在上的值域为(   )

A. B. C. D.

6、某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯(如图所示)，其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻(横向相邻或纵向相邻)的概率为(   )

A. B. C. D.

7、在棱长为2的正方体中，M，N，F分别为，，的中点，则三棱锥的外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

8、已知，，，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则(   )

A.估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%

B.估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%

C.估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半

D.估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多

10、若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是(   )

A.  B.

C.  D.

11、已知A，B，C是同一条直线上三个不同的点，O为直线外一点.在正项等比数列中，已知，且，则的公比q的值可能是(   )

A. B. C. D.

12、在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转至处，则(   )

A.在旋转过程中，点C运动的轨迹长度为

B.点B到平面的距离为

C.异面直线与所成的角为

D.直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题

13、已知正数a，b满足，则的最小值为___________.

14、满足直线l：与圆C：有公共点的一个整数___________.

15、法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：，则C的蒙日圆O的方程为___________；若过圆O上的动点M作C的两条切线，分别与圆O交于P，Q两点，则面积的最大值为___________.

16、已知函数，若恒成立，则a的取值范围为___________.

四、解答题

17、已知数列的前n项和为，且，.

(1)证明：是等比数列.

(2)若，求数列的前n项和.

18、为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查(总分100分)，调查的结果如下表所示.若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识.

(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；

(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望.

附：，.

19、如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面.O是的中点，E是上一点，且平面.

(1)求的值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20、如图，在平面四边形中，，，，，，E为的中点，与相交于点F.

(1)求的面积；

(2)求的值.

21、如图，A，B，C，D是抛物线E：上的四个点(A，B在x轴上方，C，D在x轴下方)，已知直线与的斜率分别为和2，且直线与相交于点P.

(1)若点A的横坐标为6，则当的面积取得最大值时，求点D的坐标.

(2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22、已知函数.

(1)求的最值；

(2)当时，函数的图象与的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：因为，，所以.

2、答案：B

解析：，故.

3、答案：D

解析：，因为，，

所以，故.

4、答案：A

解析：由，知E的焦点在x轴上.因为E的实轴长为，所以，解得或(舍去)，则E的离心率为.

5、答案：D

解析：由题可知，，，即，.因为.所以.

由，得，则.

6、答案：A

解析：这2头故障LED灯相邻的概率为.

7、答案：B

解析：由题知，因为平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以和有公共的斜边，设的中点为O，则点O到M，N，B，F的距离都相等，所以点O为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，所以，，该球的体积.

8、答案：D

解析：设函数，则，则在上是减函数.又，且，，，所以，即.

9、答案：ABC

解析：设2022年到该地旅游的游客总人数为a，

由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，

其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，

所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为，所以A正确；

因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数为，所以B正确；

因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以C正确；

因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为，而到该地旅游的老年人的人数为，所以D错误.

10、答案：ABD

解析：若，

则，

则是偶函数.

若，则，

则是偶函数.

若，则，

则是奇函数.

若，

则，

则是偶函数.

11、答案：CD

解析：因为A，B，C是同一条直线上三个不同的点，且，所以.

因为为正项等比数列，所以公比.

因为，所以，又，所以.

12、答案：BCD

解析：过C作，交的延长线于O，则，.

在中，，，所以，，

所以在旋转过程中，点C运动的轨迹长度为，故A错误.

在中，，，所以.设点B到平面的距离为h，因为，所以，即B到平面的距离为，故B正确.

取的中点E，连接，则，连接，所以为所求角，在中，，，，所以，所以，所以异面直线与所成的角为，故C正确.

过D作，交的延长线于F，连接，则平面，所以为所求的平面角.

在中，，，所以，故D正确.

13、答案：8

解析：因为，，所以，所以，解得，

当且仅当，时，等号成立.

14、答案：2(或，，0，1)

解析：由题可知，，解得.

15、答案：；12

解析：由题意可知，点一定在蒙日圆O上，所以蒙日圆O的半径，所以蒙日圆O的方程为.因为M，P，Q都在圆O上，且，所以为圆O的直径，所以，故面积的最大值为.

16、答案：

解析：等价于，令，则.

当时，；当时，.故.转化为，即.

令，，则，则，故a的取值范围为.

17、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)证明：当时，.因为，所以.

当时，因为，所以，

则，即.

又，所以是以6为首项，3为公比的等比数列.

(2)解：由(1)可知，

所以，，

故.

18、答案：(1)有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关

(2)分布列见解析，数学期望为

解析：(1).

因为，

所以有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关.

(2)获得纪念品的女生人数X的可能取值为0，1，2.

；；.

X的分布列为

.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)设平面与直线相交于点F，连接，.

因为平面，平面，平面平面，所以.

因为，平面，平面，所以平面.

又平面平面，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，所以E，F分别为，的中点，故.

(2)以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，，，.

设平面的法向量为，则令，得.

设直线与平面所成的角为，则.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)在中，.

因为，所以，

所以的面积.

(2)由(1)可知，.

在中，，

故，则.

在中，由，

解得，则.

在中，由，

解得，则.

.

因为，所以，

所以，

故，解得，则.

.

21、答案：(1)点D的坐标为

(2)是定值，且该定值为2

解析：(1)由题可知，点A的坐标为，直线的方程为，

则的长度为定值.

将直线平移到与抛物线E相切，切点为D，此时的面积取得最大值.设切线的方程为，联立方程组消去x整理得.

，解得，则，，故点D的坐标为.

(2)设，则直线的方程为，

联立方程组

消去x整理得，则，.

同理可得，，.

，，

，，

所以.

故是定值，且该定值为2.

22、答案：(1)，无最大值

(2)实数a的取值范围是

解析：(1)因为，所以，

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，无最大值.

(2)令，则在上有两个零点.

，

令，则，

因为在上单调递增，所以.

当时，，在上单调递增，，即，

则在上单调递增，所以，

所以有且仅有1个零点，不符合条件.

当时，，，

所以存在，使得.

当时，，单调递减，且，

当时，，单调递增，

因为当时，，所以存在t，使得.

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增.

因为，且，，所以在上有两个零点.

所以实数a的取值范围是.