中考几何模型压轴题 专题17《一线三等角模型》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题17《一线三等角模型》

破解策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．

（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．

如图，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD．

例题讲解

例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．

（1）如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值；

（2）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．

①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）．

②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1S2的表达式．

图1              图2                图3

解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．

由题意可知∠A＝∠B＝60º，所以sinA＝sinB＝．

由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN．

∴，从而AMBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12．

（2）①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，

所以，从而AMBN＝ADBD＝ab，

所以S1S2＝a²b²sin²a；

②如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，

所以，从而AMBN＝ADBD＝ab，

所以S1S2＝a²b²sin²a；

  例2：如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．

（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，

∴∠ABD＝∠ACB＝30°，

∴∠ABD＝∠ADE＝30°，

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，

∴∠EDC＝∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

过A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB＝90°，

∵AB＝2，∠ABF＝30°，

∴AF＝＝1，

∴BF＝，

∴BC＝2BF＝，

则DC＝，EC＝2－y

∵△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

化简得：．

（2）①当AD＝DE时，如图2，

△ABD≌△DCE，

则AB＝CD，即2＝，

x＝，代入

解得：y＝，即AE＝，

②当AE＝ED时，如图，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，

所以∠DEC＝60°，∠EDC ＝90°

则ED＝ EC，即y＝ （2－y）

解得y＝，即AE＝；

③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°

此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在．

所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－或AE＝

进阶训练

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足

∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平

分∠DFC．

1．略

【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等

角模型”可得△BDE∽△CEF，可得＝．而BE＝CE·

所以＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC．

2． 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点

E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH

＝5HG，求BD的长．

2．BD＝9．

【提示】如图，过点F作FI∥AC 交BC于点I．则∠FIE＝∠ACB＝∠ABC．易证△DBE≌△E IF，则IF ＝BE ，IE＝BD，所以BC＋BE＝AD，即IC＝BE＝IF，则∠ACH＝

∠BCH＝30°．延长CH变AB于点J，则CJ⊥AB，．A＝ BJ

分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，·则KL＝KJ·＝＝，所以AJ：JK：KL：BL＝5：2：2：l．因为BE＝3，∠LEB＝ 30°，所以BL＝1．5．AB＝15．所以BD＝9．