中考几何模型压轴题 专题21《等腰三角形的存在性》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题21《等腰三角形的存在性》

破解策略

以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．

如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．

有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．

例题讲解

例1  如图，正方形ABCD的边长是16，点E在AB边上，AE＝3，F是BC边上不与B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′＝     ．

解  16或4

①如图1，当CB′＝CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去；

②如图2，当DB′＝CD时，DB′＝16；

③如图3，当DB′＝B′C时，过点B作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H．

显然G，H分别为AB，CD的中点．

由题意可得B′E＝13，DH＝BG＝8，所以EG＝5，

从而B′G＝＝12，B′H＝4，

所以DB′＝＝4．

②如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．

图2

③如图3所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°．

图3

当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8．

由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．

由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．

∴EG＝AG－AE＝8－3＝5，

∴B′G＝，

∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4，

∴DB′＝

例2  如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），

解：如图，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm，
∴＝
∴PH＝3﹣t，AH＝

∴QH＝，PQ＝

在△APQ中，
①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；
②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；
③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；
∵0＜t＜4，
∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．

例3  如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝1，OC＝2，点D在边OC上且OD＝．

（1）求直线AC的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AC的解析式y＝kx＋b，
又∵OA＝1，OC＝2，
∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k＝，b＝1
直线AC的函数解析式：y＝
（2）若DC为底边，
∴M的横坐标为＝，
则点M的坐标为（，）
∴直线DM解析式为：y＝
∴P（0，）；
若DM为底，则CD＝CM＝，
∴AM＝AN＝，
∴N（，1），
可求得直线DM的解析式为y＝（＋2）x－（），
∴P（0，－（））
若CM为底，则CD＝DM＝
∴点M的坐标为（，）
∴直线DM的解析式为y＝－x＋，
∴点P的坐标为（0，）

综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，），（0，－（）），（0，）

例4  已知抛物线y＝－x2＋mx－n的对称轴为x＝－2，且与x轴只有一个交点．
（1）求m，n的值；
（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；
（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝－2，
∴m＝－4．
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴m2－4n＝0．  从而n＝4．

（2）原抛物线的表达式为y＝－x2－4x－4＝－（x＋2）2．

    所以抛物线C的表达式为y＝x2－1．

（3）假设点D存在，设点D的坐标为（d，d2－1）．

    如图，作DH⊥y轴于点H，

    则DH2＝ d2，BH2＝（d2－2）2．

    若△BPD是等边三角形，则有，即d2＝3（d2－2）2，

    解得d＝或d＝．

所以满足条件的点D存在，分别为D1（，2），D2（－，2），D3（，），

D4（－，）．

    例5  如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－3x－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E（3，－4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

解  由抛物线y＝x2－3x－8＝（x－8）（x＋2） ，

可得点A，B，C的坐标分别为（－2，0），（8，0）（0，－8）．

所以CE＝＝5＝OE，

所以△OEC是顶角为钝角的等腰三角形，即∠OEC＞90°，

△OPQ曲等腰三角形有三种可能：

①当PO＝PQ时，即∠OPQ为顶角，

显然∠POQ＝∠COE，

所以∠OPQ＝∠OEC＞90°，

由题意可知这种可能性不存在；

②当OP＝OQ时，则∠OPQ＝∠OQP．

    如图1，过点E作PQ的平行线，分别交x轴，y轴于点F，G，

    则∠OGE＝∠OPQ＝∠OQP＝∠OEG，

    所以OG＝OE＝5，即点G的坐标为（0，－5），

    所以直线GE的表达式为y＝x－5，

    所以点F的坐标为（5，0）．

    而，

所以，即；

③当QO＝QP时，则∠QPO＝∠QOP＝∠OCE，所以CE∥PQ，

如图2，设直线CE与x轴交于点H．

由C，E两点的坐标可得直线CE的表达式为，y＝x－8．

所以点H的坐标为（6，0）．

    ，

所以，即．

综上可得，当m的值为或时，△OPQ是等腰三角形．

进阶训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为t，若△DMN是等腰三角形，求t的值．

【答案】t＝5，6或时，△DMN是等腰三角形．

2．设二次函数y＝x2＋2ax＋（a＜0）的图象顶点为A，与x轴的交点为B，C．

（1）当△ABC为等边三角形时，求a的值，

（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求a的值．

【答案】（1）a＝－；（2）a＝－

3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（0，2），E为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），以E为顶点作∠OFT＝45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC＝AB．抛物线y＝x2＋mx＋n经过A，C两点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）求证：∠BEF＝∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标．

【答案】（1）y＝－x2－x＋；（2）略；（3）点E的坐标为（－1，1），（－，2－）．

【提示】（2）由∠BAO＝∠FEO＝∠ABO＝45°即可证；

（3）分类讨论：①当OE＝OF时， 点E与点A重合，不符合题意；

②点EO＝EF时（如图1），易证△AFO≌△BFE，从而BE＝AC＝2，再过点E作EH⊥ y轴，即可求得点E（－，2－）；

③当FE＝FD时（如图2），此时△BFE和△OFE均为等腰直角三角形，求得点E（－1，1）．

4．如图，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A（－5，0），B（－1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，连结PA，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，请问：△APD能否为等腰三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】△APD能为等腰三角形，点P的坐标为（－2，3），（－1，0），（－，6－7），或（，－6－7）．

【提示】由点A，B的坐标可得抛物线的表达式为y＝ax2－6x－5．从而得到C（0，－5）．所以直线AC：y＝－x－5．

可设点P（m，－m2－6m－5），则D（m，－m－5）．

    △APD为等腰三角形有三种情况，由∠ADP＝45°或135°．用代几结合解决问题．

    ①当AP＝AD时，∠FAD＝90°，得P（一2，3）；

    ②当AP＝PD时，∠APD＝90°，得P（1，0）；

    ③当AD＝PD时，可列方程，

从而m＝，得P（－，6－7），或（，－6－7）．

  5．如图，抛物线y＝ax2＋2x－3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（1，0）．直线y＝x－分别与x轴，y轴交于C，F两点．Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF干点D．点E在线段CD的延长线上，连结QE，问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】存在，以QD为腰的等腰△QDE的面积最大值为

【提示】有题意可得抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3，点C（，0），F（0，－），从而tan∠EDQ＝tan∠OFC＝，如图，作QG⊥CE于点G，设DQ＝t，则QG＝t，DG＝t，

若DQ＝DE，则DE＝2DG，从而△QDE的面积为S＝DE·QG＝t2

显然t2＞t2

所以当DQ＝EQ时，S取最大值．设点Q（x，x2＋2x－3），则t＝QD＝－x2－x＋，可得t＝3时，Smax＝