中考几何模型压轴题 专题22《直角三角形的存在性》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题22《直角三角形的存在性》

破解策略

以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：

    直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）．  

    解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

    （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．

    如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．

    （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．

    有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！

例题讲解

    例1  如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1．

    （1）求抛物线的表达式；

（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）．

所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a

 由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1

    所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．

    （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N．

若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN．  所以PM＝BN．

设点P的坐标为（m，H，－m2＋2m＋3）．则PM＝|m＋3|，BN＝|－m2＋2m＋3|，所以|m＋3|＝|－m2＋2m＋3|．解得m1＝0，m2＝1，m3＝，m4＝

所以点P的坐标为（0，3），（1，4），（，），（，）

例2  如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，

    解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k＝8，

    所以反比例函数为y＝，

   联立方程纽组 ， 解得，

       所以点B的坐标为（1，8）．

    由题意可得点E．F的坐标分剐为（5，0），（0，10），

    以AB为直角迎的直角三角形有两种情况：

如图1，当∠PAB＝90°时，

    连结OA，则OA＝＝．

    而AE＝＝，OE＝5，所以OA2＋AE2＝OE2，

    即OA⊥AB．所以A，O，P三点共线．

    由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y＝x．

        联立方程组        解得，

所以点P的坐标为（－4，－2）．

②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G．

易证△FBC∽△FOE，所以，

而FO＝10．FE＝，FB＝＝

可求得FG＝，所以点G的坐标为（0，）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为y＝x＋，

联立方程组 解得

    所以点P的坐标为（－16，－）；

综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－）．

例3  如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标．

     解  由题意可得点A（－1，0），P（2，－5），B（5，0）．

设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m－2，5），E的坐标为（2m－5，0），

所以PQ2＝（2m－4）2 ＋102，PE2＝（2m－7）2＋52，EQ2＝32＋52＝34．

△PQE为直角三角形有三种情况：

①当∠PQE＝ 90°时，有PE2＝PQ2＋ EQ2，

即（2m－7）2＋52＝（2m－4）2＋102＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）；

②当∠QEP＝90°时，有PQ2＝PE2 ＋EQ2，

即（2m－4）2＋102＝（2m－7）2＋52＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）；

③当∠QPE＝ 90°时，有EQ2＝PE2 ＋ PQ2，

即（2m－7）2＋52＋（2m－4）2＋102＝34，方程无解，所以此种情况不成立，

综上可得，当△PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（－，5）或（－，5）．

例4  如图．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，当BE＝2时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连结B′D，B'M，DM．问：是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解  存在满足条件的t．理由如下：

    如图，过点D作DH⊥ BC于点H，过点M作MN⊥DH于点N，

        则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3．

        所以BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t．   

        易证△MEC∽△ABC，

        可得＝，即＝，所以ME＝2－t．

        在Rt△B′ME中，有B′M2＝ME2＋B′E2＝t2－2t＋8．

        在Rt△DHB′中，有B′D2＝DH2＋B′H2＝t2－4t＋13．

        在Rt△DMN中，DN＝DH－NH＝t＋1．

        则DM2＝DN2＋MN2＝t2＋t＋1．

 ①若∠DB'M＝90°，则DM2＝B'M2＋B'D2，

    即t2＋t＋1＝（t2－2t＋8）＋（t2－4t＋13），

    解得t1＝；

②若∠B'MD＝90°，则B'D2＝B'M2＋DM2，

    即t2－4t＋13＝（t2－2t＋8）＋（t2＋t＋1），

    解得t2＝－3＋，t3＝－3－（舍）；

③若∠B'DM＝90°，则B'M2＝B'D2＋DM2，

    即t2－2t＋8＝（t2－4t＋13）＋（t2＋t＋1），

    此方程无解．

    综上所得，当t＝或－3＋时，△B'DM是直角三角形．

进阶训练

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA ＝4，AB＝3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x（0＜x＜4）时，解答下列问题：

   （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

   （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）N（x，x）；

   （2）当△OMN是直角三角形时，x的值为2或．

【提示】（1）过点N作NP⊥OA于点P，由△PON∽△AOB即可求得；

       （2）分类讨论，通过△OMN和△OAB相似即可列出等式求得x的值．

2．如图，在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx－3与双曲线y＝的两个交点为A，B．其中A（－1，a）．若M为x轴上的一个动点，且△AMB为直角三角形，求满足条件的点M的坐标．

解：满足条件的点M的坐标为（－5，0），（5，0），（，0）或（，0）．

【提示】先求出点A，B的坐标，再设点M的坐标，从而用待定字母表示AM2，BM2，AB2．然后讨论直角，根据勾股定理列方程即可．

3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

    （1）求点A，B的坐标；

    （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的一个动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的表达式．

解：（1）A（﹣4，0），B（2，0）；

   （2）直线l的表达式为或．

【提示】（2）若△ABM是直角三角形，则点M在以AB为直径的圆上，或过A，B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）．由题意可得直线l与以AB为直径的圆相切（如图），点M1，M2，M 3即为满足条件的三个点，此时直线l：；根据对称性，直线l还可以为

4，如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点O（0，0），点A在该图象上， OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连结AN，ON．

    （1）求该二次函数的表达式；

    （2）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题：

    ①证明：∠ANM＝∠ONM；

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

解：（1）；（2）①略；②△ANO 能为直角三角形，符合条件的点A的坐标为

【提示】（2）①过点A作AH⊥l于点H，令l与x轴的交点为D．设点A（m，），则直线AO的表达式为，从而求得点M的坐标为（4，m－8），N的坐标为（4，﹣m），只需证明tan∠ANH＝tan∠OND即可；

②分类讨论：当∠ANO＝90°时，∠ANM＝∠ONM＝45°，点N与点P重合，点M与点D重合，不满足M，N关于点P对称，故此时不存在这样的点A；

当∠NOA＝90°时，有，求得满足条件的点A；

当∠NAO＝90°时，有，即，解得m＝4，此时点A，P重合，不满足题意．

5．抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点为C，点A的坐标为（﹣1，4），其对称轴l上是否存在点M，使线段MA绕点M逆时针旋转90°得到线段MB，且点B恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：存在，点M的坐标为（1，2）或（1，5）．

【提示】如图，连结AC，则AC⊥l，作BD⊥l于点D，则△MCA≌△BDM，从而MD＝AC＝2，BD＝MC．无论点A，B在l同侧还是异侧，设点M（1，m），都可得B（m－3，m－2），代入抛物线表达式即可求得m＝2或5，从而点M的坐标为（1，2）或（1，5）．