中考几何模型压轴题 专题25《全等三角形的存在性》

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中考数学几何专项复习策略在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。    专题25《全等三角形的存在性》破解策略    全等三角形的存在性问题的解题策略有：   （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．   （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．例题讲解    例1  如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．   （1）求抛物线的表达式；   （2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．   （3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．      解：（1）由题意可列方程组  ，   解得   ，  所以抛物线的表达式为．  （2）显然OA＝2， OB＝3， OC＝4． 所以．  若△P BD≌△PBC，则BD＝ BC＝5，PD＝PC  所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，①若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合．  如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点．  此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2 BD．  由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）．所以直线BE的表达式为． 联立方程组，解得， ．所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）．（4＋，）． ②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）．    如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点．    此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4 BD．    由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2），    所以直线BF的表达式为y＝2x－6．联立方程组，解得，所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋，－8＋2），（  －1－，－8－2），  综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4＋，），（－1＋，－8＋2）或（－1－，－8－2）．    （3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，    则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2． 而∠AMN＝∠ABN＝900，    所以△AMN与△ABN全等有两种可能：    ①当AM＝AB，MN＝BN时，可列方程组，解得；（舍），    所以此时点M的坐标为（0，）．②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：·解得，（舍）所以此时点M的坐标为（0，）．综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）．例2  如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝ 900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．                                             图1                图2解： 由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝．所以OD＝OB＝，BD＝OB＝．①当点F在OA上时，（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1．此时DF⊥OA，所以OF＝OD＝，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）．（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2．此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝＝；所以∠BED＝300，从而BE＝BD＝，AE＝．过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝AE＝，所以OG＝，即点E的坐标为（，）．         图3                            图4（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3．    此时DE∥OA，所以BD＝BE．  从而AE＝OD＝，    过点E作EG⊥OA于点G， 则EG＝AG＝AE＝，所以OG＝，即点E的坐标为（，）．②当点F在AB上时，只能有△ODF ≌△AFD，如图4．    此时DF∥0A．且点E与点A重合，    即点E的坐标为（4，0）．    综上可得，端足条件的点E的坐标为（，0），（，），（，）或（4，0）． 进阶训练    1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴变于点C．直线l；与抛物线的对称轴交于点E．连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F，使得△FOE≌△FCE．．若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由．答案：存在．点F的坐标为（，－4）或（，－4）2． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行．直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交干点F．    （1）若点E与点P重合，求k的值；    （2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由．   答案：（1）k＝2（2）存在．点E的坐标为（，2）或（，2）【提示】（2）易得点E（，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM＝，再解Rt△BME，得k＝，所以点E的坐标为（，2）；②如图2，当k＞2时，只能有△MEF≌△PFE． 过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（，2）3．如图，抛物线经过A（，0），B（，0），C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，AD．线段AD与y轴相交于点E．    （1）求该抛物线的表达式；    （2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q．使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）抛物线的表达式为（2）存在．点Q的坐标为（，4），（，－2），（，1）或（0，7）．【提示】（2）方法一：易求直线BC：，从而点D的坐标为（，2），可得CD＝PD，所以△QCD与△ADP全等有两种情况．设点Q坐标，通过两点间距离公式列出QC，QD，AP，AD的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标．方法二：连接CP，易证△CDP为等边三角形，∠ADC＝60°，所以∠PDA＝120°．△QCD与△ADP全等有两种情况，①如图1，∠DCQ＝120°，CQ＝DA＝4，此时点Q1的坐标为（0，7），点Q2的坐标为（，1）；②如图2，∠CDQ＝120°，DQ＝DA＝4，此时点Q3的坐标为（，－2），点Q4的坐标为（，4）