北师大版七年级下册2 探索直线平行的条件课堂检测

第6讲   平行线

知识点1 平行公理及推论

1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.

2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

【典例】

例1 （2020春•福田区校级期中）下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有　　个．

A．0 B．1 C．2 D．3

【方法总结】

本题主要考查了对顶角、同位角、平行公理以及点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．

例2（2020春•威县期末）如果，，那么，这个推理的依据是　　

A．等量代换 

B．两直线平行，同位角相等 

C．平行公理 

D．平行于同一直线的两条直线平行

【方法总结】

本题考查了平行公理及推论，牢记平行公理及推论是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•禹州市期末）平面内有三条直线、、，下列说法：①若，，则；②若，，则，其中正确的是　　

A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确

知识点2 平行线的判定

1. 平行线的判定方法：

判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

    简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.

判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

    简单说成：内错角相等，两直线平行.

如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.

判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.

2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

   注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.

【典例】

例1 （2020春•越秀区校级期中）已知，如图，，，分别平分与，且．求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

证明：

，分别平分与，（已知）

，．　　　　　　　　　　

，　　

　　　　（等量代换）

　　．　　

　　　　．　　

【方法总结】

本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

例2 （2020春•塔河县校级期末）已知，，求证：．

【方法总结】

本题考查了平行线的判定以及性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．

【随堂练习】

1．（2020秋•绿园区期末）如图，可以判定的条件是　　

A． B． 

C． D．

2．（2020秋•叙州区期末）如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

知识点3 平行线的性质

平行线的性质：

性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

    简单说成：两直线平行，同位角相等.

如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

    简单说成：两直线平行，内错角相等.

如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.

【典例】

例1（2020秋•绿园区期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，已知：平分，，，求证：平分．

证明：平分（已知），

（角平分线的定义），

（已知），

_________，

（等量代换），

（已知），

　　_________，

_________，

　　　　（等量代换），

平分_________．

【方法总结】

本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．

例2 （2020秋•灵山县期中）如图，平分，，．求的长．

【方法总结】

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和角平分线的定义解答．

【随堂练习】

1．（2020秋•香坊区期末）如图，已知平行线，，一个直角三角板的直角顶点在直线上，另一个顶点在直线上，若，则的大小为　　

A． B． C． D．

2．（2020秋•香坊区校级期中）如图，，，，，则图中与相等的角除外）有　　

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

3．（2020秋•海珠区校级期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

知识点4 平行线的判定与性质的综合运用

    两直线平行同位角相等.

两直线平行内错角相等.

    同旁内角互补两直线平行.

“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.

【典例】

例1 （2020春•天河区校级期中）如图，已知AD∥EF，∠2＝50°．

（1）求∠3的度数；

（2）若∠1＝∠2，问：DG∥BA吗？请说明理由；

（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度数．

【方法总结】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．

例2（2020秋•南岗区校级月考）已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．

（1）如图1，求证：DE∥BC．

（2）如图2，当∠A＝∠EFG＝90°时，请直接写出与∠C互余的角．

【方法总结】

本题考查的是平行线的判定与性质定理，熟知平行线的判定与性质定理是解答此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•农安县期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；

（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．

2．（2020春•平罗县期末）如图，已知BE平分∠ABC，点D在射线BA上，且∠ABE＝∠BED．

（1）判断BC与DE的位置关系，并说明理由．

（2）当∠ABE＝25°时，求∠ADE的度数．

知识点5 命题、定理、证明

1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.

   数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.

3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.

4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.

【典例】

例1 （2020秋•太原期末）下列四个命题中：

①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当时，点，在第四象限内．其中真命题有______（填序号）．

【方法总结】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

例2 （2020秋•袁州区校级月考）如图，是的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①；②；③平分．

（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“”的形式一一书写出来；

（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明．

【方法总结】

本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质，本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．

【随堂练习】

1．（2020秋•道里区期末）下列命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④负数没有平方根．其中是真命题的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2020秋•本溪期末）下列命题：①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②两直线平行，内错角相等；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④等腰三角形的底角必为锐角，其中假命题的个数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

综合运用

1．（2020秋•叙州区期末）如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．（2020春•下城区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是　　

A． B． C． D．

3．（2019春•桂平市期末）如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2020春•定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有___________．（填序号）

5．（2020春•商河县期末）填写推理理由：

如图，，，求证：．

证明：，

______________________

，

．______________

______________．

_______．

6．（2020春•青龙县期末）已知：如图，，．求证：．

7．（2020春•凉山州期末）如图，已知∠1、∠2互为补角，且∠3＝∠B．

（1）求证：∠AFE＝∠C；

（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝85°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．