北师大版七年级下册第四章 三角形3 探索三角形全等的条件同步达标检测题

第10讲 全等辅助线（一）

知识点1 截长补短

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.

如图，在线段上截取.

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.

如图，延长到点D，使得.

【典例】

例1（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”

李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：

方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝　EC　即可，这就将证明线段和差问题　转化　为证明线段相等问题，只要证出△　ABD　≌△　AED　，得出∠B＝∠AED及BD＝　DE　，再证出∠　EDC　＝　∠C　，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．

方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠　F　＝∠C，再证出△　AFD　≌△　ACD　，则结论成立．

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．

【解答】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图2：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠B＝∠AED，BD＝DE，

又∵∠B＝2∠C，

∴∠AED＝2∠C，

而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，

∴∠C＝∠EDC，

∴DE＝CE，

∴AB+BD＝AE+CE＝AC，

故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C；

方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD，

∴∠F＝∠BDF，

∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F，

∵∠ABD＝2∠C，

∴∠F＝∠C，

在△AFD和△ACD中，

，

∴△AFD≌△ACD（AAS），

∴AC＝AF，

∴AC＝AB+BF＝AB+BD，

故答案为F，AFD，ACD．

【方法总结】

本题考查了翻折变换，全等三角形的判定，角平分线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．

【解答】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠FBD，

∴△ABD≌△FBD（SAS），

∴DF＝DA＝DE，

又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，

∴∠FDC＝60°，

∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，

∴△DCE≌△DCF（SAS），

故∠ECA＝∠DCB＝40°．

知识点2 倍长中线

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．

例如：

其中，延长使得，则．

【典例】

例1 （2019秋•麻城市期末）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．求证：AC＝2AE．

【解答】证明：延长AE至点F，使EF＝AE，连接DF，如图所示：

∵AE是△ABD的边BD上的中线，

∴BE＝DE，

在△ABE与△FDE中，，

∴△ABE≌△FDE（SAS），

∴DF＝AB＝CD，∠EDF＝∠B，

∵AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，

∴AB＝BD，

∴∠ADB＝∠BAD，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠BDA+∠EDF＝∠ADF，

在△ADF与△ADC中，，

∴△ADF≌△ADC（SAS），

∴AC＝AF＝2AE．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2019秋•东港区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，AD＝2，

求：（1）BC的长；

（2）△ABC的面积．

【解答】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD为BC边上的中线，

∴BD＝DC，

在△ADC与△EDB中

，

∴△ADC≌EDB（SAS），

∴BE＝AC＝3，

在△ABE中，AB＝5，BE＝3，AE＝2+2＝4，

即52＝32+42，即AB2＝BE2+AE2，

∴△ABE是直角三角形，

∴BD，

∴BC＝2BD＝2，

（2）∵△ABE是直角三角形，

∴△ABE的面积，

∵△ADC≌△EDB，

∴△EDB的面积＝△ADC的面积，

∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝6

综合运用

1．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（　　）

A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．

【解答】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD为BC边上的中线，

∴BD＝CD，

在△EDB和△ADC中，

，

∴△EDB≌△ADC（SAS），

∴BE＝AC＝3，

∵△ABE中，AB＝5，

∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，

∴2＜AE＜8，

∵AE＝2AD，

∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．

故选：C．

2．（2019秋•武冈市期中）如图，AC是△ABD的中线，AD是△ABE的中线，BA＝BD，求证：AE＝2AC．

【解答】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，

∵AC是△ABD的中线，

∴BC＝DC．

∵∠ACB＝∠FCD，

∴△ABC≌△FDC（SAS）．

∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，

又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，

∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，

∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，

∴△ADE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF＝2AC．

3．（2019秋•下陆区期中）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．

A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL

（2）求得AD的取值范围是　C　．

A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF．

【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故选C．

（3）证明：

延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，

∵AD是△ABC中线，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF．

日期：2021/1/28 21:03:33；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626

4．（2020春•姑苏区期末）阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　2　cm2．

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．

【解答】解：（1）由题意可得，

AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，

则△EAC的面积是：2（cm2），

即四边形ABCD的面积为2cm2，

故答案为：2；

（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，

在△GFH和△NFO中，

，

∴△GFH≌△NFO（SAS），

∴FH＝FO，

∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，

∴HM＝OM，

在△HFM和△OFM中，

，

∴△HFM≌△OFM（SSS），

∵△OFM的面积是：2cm2，

∴△HFM的面积是2cm2，

∴四边形HFOM的面积是4cm2，

∴五边形FGHMN的面积是4cm2．

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