北师大版七年级下册第四章 三角形3 探索三角形全等的条件课时训练

第10讲 全等辅助线（一）

知识点1 截长补短

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.

如图，在线段上截取.

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.

如图，延长到点D，使得.

【典例】

例1（2020秋•灌云县期中）阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　12.5　cm．

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．

【解答】解：（1）由题意可得，

AE＝AC＝5，∠EAC＝90°，

则△EAC的面积是：（cm2），

即四边形ABCD的面积为12.5cm2，

故答案为：12.5；

（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，

在△GFH和△NFO中，

，

∴△GFH≌△NFO（SAS），

∴FH＝FO，

∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，

∴HM＝OM，

在△HFM和△OFM中，

，

∴△HFM≌△OFM（SSS），

∵△OFM的面积是：cm2，

∴△HFM的面积是12.5cm2，

∴四边形HFOM的面积是25cm2，

∴五边形FGHMN的面积是25cm2．

【方法总结】

本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

【随堂练习】

1．（2020秋•泉港区期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．

（1）请求出∠BAC的度数；

（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，

∴△ACD为等边三角形，

∵AB∥CD，

∴∠ACD＝60°，

∴∠BAC＝∠ACD＝60°；

（2）证明：在BC上截取BF＝BE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBO＝∠OBF，

∵OB＝OB，

∴△BEO≌△BFO（SAS），

∴∠BOE＝∠BOF，

∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，

∴∠OBC+∠OCB＝60°，

∴∠POC＝∠BOE＝60°，

∴∠COF＝60°，

∴∠COF＝∠POC，

又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，

∴△CPO≌△CFO（ASA），

∴CP＝CF，

∴BC＝BF+CF＝BE+CP．

知识点2 倍长中线

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．

例如：

其中，延长使得，则．

【典例】

例1（2019秋•朝阳区期末）阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

完成下面问题：

（1）①思路一的辅助线的作法是：　延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG　；

②思路二的辅助线的作法是：　作BG＝BF交AD的延长线于点G　．

（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

【解答】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：

∵AD为△ABC中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠AFE，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．

故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；

②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：

∵BG＝BF，

∴∠G＝∠BFG，

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EFA，

∵∠EFA＝∠BFG，

∴∠G＝∠EAF，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∴AC＝BF；

故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；

（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：

则∠G＝∠CAD，

∵AD为△ABC中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2019秋•洪山区期中）如图1，△ABC中，CD为△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED＝∠BCD．

（1）求证：AE＝BC．

（2）如图2，连接BE，若AB＝AC＝2DE，∠CBE＝14°，则∠ACD的度数为　28°　（直接写出结果），

【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF＝CD，连接AF，

∵CD为△ABC的中线，

∴AD＝BD，且∠ADF＝∠BDC，且CD＝DF，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴AF＝BC，∠F＝∠BCD，

∵∠AED＝∠BCD，

∴∠AED＝∠F，

∴AE＝AF，

∴AE＝BC；

（2）∵DEAB，CD为△ABC的中线，

∴DE＝AD＝DB，

∴∠DEB＝∠DBE，

∴∠ABC＝∠DBE+∠CBE＝∠DEB+14°，

∵∠DEB＝∠DCB+∠CBE，

∴∠DCB＝∠DEB﹣14°，

∵AC＝AB，

∴∠ACB＝∠ABC＝∠DEB+14°

∴ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝28°，

故答案为：28°．

综合运用

1．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（　　）

A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．

【解答】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD为BC边上的中线，

∴BD＝CD，

在△EDB和△ADC中，

，

∴△EDB≌△ADC（SAS），

∴BE＝AC＝3，

∵△ABE中，AB＝5，

∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，

∴2＜AE＜8，

∵AE＝2AD，

∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．

故选：C．

2．（2019秋•武冈市期中）如图，AC是△ABD的中线，AD是△ABE的中线，BA＝BD，求证：AE＝2AC．

【解答】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，

∵AC是△ABD的中线，

∴BC＝DC．

∵∠ACB＝∠FCD，

∴△ABC≌△FDC（SAS）．

∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，

又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，

∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，

∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，

∴△ADE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF＝2AC．

3．（2019秋•下陆区期中）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．

A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL

（2）求得AD的取值范围是　C　．

A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF．

【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故选C．

（3）证明：

延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，

∵AD是△ABC中线，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF．

日期：2021/1/28 21:03:33；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626

4．（2020春•姑苏区期末）阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　2　cm2．

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．

【解答】解：（1）由题意可得，

AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，

则△EAC的面积是：2（cm2），

即四边形ABCD的面积为2cm2，

故答案为：2；

（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，

在△GFH和△NFO中，

，

∴△GFH≌△NFO（SAS），

∴FH＝FO，

∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，

∴HM＝OM，

在△HFM和△OFM中，

，

∴△HFM≌△OFM（SSS），

∵△OFM的面积是：2cm2，

∴△HFM的面积是2cm2，

∴四边形HFOM的面积是4cm2，

∴五边形FGHMN的面积是4cm2．

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