初中数学北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件一课一练

第11讲  全等辅助线（二）

知识点1 半角模型

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型. 常见的图形为正方形，正三角形等.

（1）正方形内含半角:

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，易证：EF=BE+DF.

（2）正三角形内含半角:

如图，在四边形ABCD中，AB=AC=BC,BD=DC， E、F分别是AB、AC边上的点，∠BDC=120° , ∠EDF=60°，易证：EF=FC+BE.

【典例】

例1 （2020秋•天心区月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

【方法总结】

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．

例2（2019秋•房山区期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB＝α，∠ABC＝β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC＝BE．

（1）若AB＝AC，点E在AD延长线上．

①当α＝30°，点D恰好为BC中点时，依据题意补全图1．请写出图中的一个“半角三角形”：____________________________________；

②如图2，若∠BAE＝2α，图中是否存在“半角三角形”（△ABD除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；

（2）如图3，若AB＜AC，保持∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系：___________________________．

【方法总结】

本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，“半角三角形”的定义等知识，解题的关键是正确理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．

【随堂练习】

1．（2020春•中山市期中）如图，边长为a的正方形ABCD被两条与正方形的边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P，连接AF，AH．

（1）若BF＝DH，求证：AF＝AH．

（2）连接FH，若∠FAH＝45°，求△FCH的周长（用含a的代数式表示）．

2．（2020•射阳县一模）已知如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF“，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？

（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．

知识点2 手拉手模型

“手拉手”数学模型：

【典例】

例1 （2019秋•珠海期中）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．

（1）求证：AE＝CD；

（2）求证：AE⊥CD

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．

【随堂练习】　

1．（2019秋•九龙坡区校级月考）已知等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．过点C作∠DCE＝90°．使A、B、D三点共线且CD＝CE．点N为BD中点，连接CN，BE．

（1）求证：AB⊥BE；

（2）求证：AE＝2CN．

知识点3 三垂模型

常见三垂直模型

【典例】

例1 （2020秋•顺平县期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．

（1）求证：MN＝AM+BN；

（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．

例2（2019秋•广州期中）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点D在线段AE上时，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．易证：DE＝BD﹣CE．

（1）如图②，点D在线段AE的延长线时，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请证明．

（2）如图③，点D在线段EA的延长线时，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．

【方法总结】

本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．

【随堂练习】

1．（2020春•平阴县期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：

（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否成立呢？

如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、B三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）．如果成立，请你给出推理过程；若不成立，请说明理由．

2．（2019春•莲湖区期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线DE，且满足BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，当B，C在直线DE的同侧时，

（1）求证：DE＝BD+CE．

（2）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图2，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

（3）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图3，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

综合运用

1．（2020秋•恩施市期末）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．

（1）在图中画出旋转后的图形；

（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF＝45°，连接EF．

求证：△AMF≌△AEF；

2．（2019秋•潘集区期中）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M、N是过点A的一条直线，作BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．

（1）求证：DE＝BD+CE；

（2）当直线MN绕点A旋转到图2所示的位置，其他条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．

3．（2019秋•宁江区期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝45°．MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．

（1）求证：BD＝AE．

（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：BD＝AE．

（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠1＝∠2．

4．（2019•麒麟区模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）