第08讲 函数与方程（讲+练）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第08讲 函数与方程(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
高频考点二：函数零点个数的判断
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
高频考点四：比较零点大小关系
高频考点五：求零点和
高频考点六：根据零点所在区间求参数
高频考点七：二分法求零点
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第08讲 函数与方程（精练）








第一部分：知 识 点 精 准 记 忆

1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.







第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·广东中山·高一期末）函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
在上递增，
，
，所以的零点在区间.
故选：A
2．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
3．（2022·广西玉林·高一期末）若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．
故选：C
4．（2022·福建南平·高一期末）函数的零点为，，则的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
是上的增函数，
又，
函数的零点所在区间为，
又，
.
故选：C.
5．（2022·江苏淮安·高一期末）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（       ）
x
-1
0
1
2
3

-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651

-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A． B． C． D．
【答案】B
令
可得：，
由题意得连续，根据函数的零点判定定理可知：在上有零点
故在上有解
故选：B
第三部分：典 型 例 题 剖 析

高频考点一：函数零点所在区间的判断
1．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）方程的解所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
设，易知在定义域内是增函数，
又，，
所以的零点在上，即题中方程的根属于．
故选：B．
2．（2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）函数的零点所在的一个区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
且是单调递减函数，
故函数的零点所在的一个区间是，
故选：B
3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数的零点所在区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数的定义域为，
且函数在上单调递减；在上单调递减，
所以函数为定义在上的连续减函数，
又当时，，
当时，，
两函数值异号，
所以函数的零点所在区间是，
故选：B.
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在时为单调增函数，
， ，
， ，
因为在内是递增，故 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知函数的图像是连续不断的，且，有如下的对应值表：

1
2
3
4
5
6

123.56
21.45
7.82
11.57
53.76
126.49
则函数在区间上的零点有（       ）
A．两个 B．3个 C．至多两个 D．至少三个
【答案】D
因为函数的图像是连续不断的，且，
所以在区间上至少有1个零点，
因为函数的图像是连续不断的，且，
所以在区间上至少有1个零点，
因为函数的图像是连续不断的，且，
所以在区间上至少有1个零点，
综上，函数在区间上的零点至少有3个，
故选：D
2．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
令．
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得．
作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．
故选：D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
当时，，则；以此类推，当时，；…；
在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.

由图可知，与的图象有7个不同的交点
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：
（1）若，则有两个零点；
（2），使得有一个零点；
（3），使得有三个零点；
（4），使得有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
【答案】（1）（2）（4）
函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数；
作函数与直线的图象如图，
若，则函数与直线的图象在与上各有一个交点，则有两个零点，故（1）正确；
若，则当函数与直线的图象相切时，有一个零点，故（2）正确；
当时，函数与直线的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当且足够小时，函数与直线的图象在与上分别有1个、2个交点，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．

5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
解：因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，
令，则，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，
由图可知函数有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10.

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数恰有个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意，函数，的图象如图：

方程的解为，方程的解为或；
①当时，函数恰有两个零点，3；
②当时，函数有2个零点，5；
则实数m的取值范围是：．
故选：A.
2．（2022·上海杨浦·高一期末）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
如图所示：

指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
所以，
故选：B.
3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是 （       ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，
而函数恰有个零点，
所以需满足有1个零点，有1个零点，
所以，
解得，
故选：D
4．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 在 上存在零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
解：令，则有，
原命题等价于函数与在上有交点，
又因为在上单调递减，且当时，，
在上单调递增，
当时，作出两函数的图像，

则两函数在上必有交点，满足题意；
当时，如图所示，只需，
解得，即，

综上所述实数的取值范围是.
故答案为：．
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________
【答案】
令，现作出的图象，如图：

于是，当时，图象有交点，即函数有零点.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有实数根，求实数a的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
解：（1）设，因为，所以；
且，所以，
所以，；
（2）设，，，
所以当时函数有最小值，而，，
所以，所以，所以.
【点睛】
本题主要考查的是换元法求函数的解析式，利用函数值域求参数范围的问题，需要注意：
（1）采用换元法求解函数解析式时，注意换元必换域，不要漏掉的范围；
（2）求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题，即求函数的值域，再利用的范围解不等式即可，需要注意定义域的限制.
高频考点四：比较零点大小关系
1．（2022·浙江·於潜中学高二期中）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：在同一坐标系中作出的图象，

由图象知：，
故选：B
2．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若，则下列不等关系一定不成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
由，得．
由，得，，
作函数，，的图象，再作直线．

变换m的值发现：，，均能够成立， D不可能成立.
故选：D．
3．（2022·山东潍坊·高三期末）已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
在同一坐标系中分别画出，，，的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．

故选：B
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
由得，，
由方程得的根为 a，由方程得的根为b.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，

由图象知，，，.
故选：B
5．（2022·江苏苏州·高一期末）若实数、满足，则、的大小关系__（填“”，“”或“”）.
【答案】
解：，，
则为函数与函数图象交点的横坐标，为函数与函数图象交点的横坐标，
在同一直角坐标系画出函数、、的图象如下，

由图知，
故答案为：.
6．（2022·江苏·高一）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是________．
【答案】
解：令，则，
即的零点为函数与交点的横坐标，
令，则，
即的零点为函数与交点的横坐标，
令，则，
即的零点为函数与交点的横坐标，
画出函数，，，的图象，如图所示，
观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标，
由图象可知.
故答案为：.

高频考点五：求零点和
1．（2022·天津市新华中学高三期末）已知函数的定义域为，且，当时，若关于x的方程在上所有实数解的和为15，则实数k的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】D
∵，
∴在上的图象，可由在上的图象向右平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的倍得到，同理，可画出函数在上的大致图象，如图，作出函数及在上的大致图象，

由条件可得，
①当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，，，，对称，则实数解的和为；
②当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，，，对称，则实数解的和为；
③当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，，对称，则实数解的和为；
④当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，对称，则实数解的和为；
⑤当时，与图象的两个交点关于直线对称，则实数解的和为；
经验证，当，，，，，及或时，均不符合题意．
综上所述，.
故选：D．
2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（       ）
A．0 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，
令，，即函数的图象与有四个不同的交点，
两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：

所以，
不妨设，
则，
所以.
故选：D
3．（2022·浙江·高三专题练习）设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为，即，
设，，作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，点、关于直线对称，则，
由图可知，，因此，.
故选：B.
4．（2022·江苏·高一期末）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.
【答案】
作出函数的图象，
由图知当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
令，
若存在，使得，由图可得，
由即，所以，
因为函数的对称轴为，所以，
所以，
故答案为：.

5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的所有零点的和为_________
【答案】3
∵是定义在R上的奇函数，且当时，
∴当时，
则
即.
则
作出的图象如图所示：

∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点
即有三个根，其中一个根为1，另外两个根关于对称
即
则所有解的和为.
故答案为：3
高频考点六：根据零点所在区间求参数
1．（2022·海南·高一期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知，即，解得
所以实数的取值范围是
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
3．（多选）（2022·江苏省太湖高级中学高二阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
4．（2022·上海市建平中学高一期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.故答案为.
5．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数，
(1)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(1)
的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点，所以，解得，即实数a的取值范围为.
高频考点七：二分法求零点
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：






那么方程的一个近似根（精确度）可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度，
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.
故选：C
2．（多选）（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，下列说法正确的有（       ）
A．精确到的近似值为 B．精确到的近似值为
C．精确到的近似值为 D．精确到的近似值为
【答案】AC
，，
零点在内，又，则AC正确，D错误；
，，，则B错误.
故选：AC.
3．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
由二分法的步骤可知，
①零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，，
所以与符号不同的是，，，
故选：ABD.
4．（多选）（2022·全国·高一）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（       ）
A．若，则在上不存在零点 B．若，则在上至少有一个零点 C．若在内有且只有一个零点，则 D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
【答案】ACD
A：令，，，
则，，，令，，
，则在上存在零点0，故A错误；
B：函数在区间上的图象不间断，若，
则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B正确；
C：如图，在内有且只有一个零点，但，故C错误；

D：如图，在上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故D错误.

故选：ACD
5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是（）将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.
【答案】     2    
若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；
若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，
若没有感染者，则只需1次检测即可；
若只有1个感染者，则只需次检测；
若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，
此时相当两个待检测均为的组，
每组1个感染者，此时每组需要次检测，
所以此时两组共需次检测，
故有2个感染者，且检测次数最多，共需次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为.
故答案为：2，
6．（2022·河南信阳·高一期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）

【答案】（1）（3）
用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
第四部分：高考真题感悟

1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
3．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
               

4．（2021·江苏·高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.
【答案】
解：画出函数的图象如下图，

由题意得函数图象上存在互异的三个点，且，
则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点，
由图知，当或时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则的取值范围为．
故答案为：．
5．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.
第五部分：第08讲 函数与方程（精练）

一、单选题
1．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知函数，则零点所在的区间可以为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
显然函数在R上单调递增，，而，
所以零点所在的区间可以为.
故选：B
2．（2020·江西省兴国县第三中学高三阶段练习（理））二次函数的部分对应值如下表：

-3
-2
-1
0
1
2
3
4

6

-4
-6
-6
-4

6
可以判断方程的两根所在的区间是（       ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
由表格可知：，
所以，
结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，
故选：A.
3．（2020·全国·高一课时练习）设函数与的图象交点为，则所在区间是（       ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【答案】B
令，则f (0)＝－4