全国甲卷+全国乙卷高考数学复习 专题4 数列（文科）解答题30题专项提分计划

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全国甲卷全国乙卷高考数学复习
专题4数列（文科）解答题30题专项提分计划

1．（江西省南昌市金太阳大联考2023届高三上学期10月联考数学（文）试题）在等比数列{}中，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式；
（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求Sn．
【详解】（1）由题设，，则的公比，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
2．（2022·贵州·校联考模拟预测）已知，数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出的通项公式；
（2）由（1）可知，即可得到，利用裂项相消法求和即可；
(1)
解：因为，即，
所以，，…，，
以上各式相加得，
又，所以.
当时，，
故的通项公式为.
(2)
解：由（1）知，，
则，
故.
3．（河南省许昌济源平顶山2022届高三第三次质量检测文科数学试题）已知等差数列的前n项和为，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，由可求出，从而得出的通项公式，根据等比数列的定义可求出数列的通项公式；
（2）根据错位相减法即可求出．
【详解】（1）设等差数列的公差为，，解得，所以；又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即．
（2）因为，
所以，①
②.
①－②得，


，.
4．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（文）试题）已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据，即可得到（），两式作差即可得解；
（2）依题意可得，利用分组求和及裂项相消法求和即可；
【详解】（1）解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
（2）解：因为，
则，
则．
5．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知数列是公差为的等差数列，数列是首项为1的等差数列，已知.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）通过题意易得数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而可得结果；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）且数列的公差为

数列是首项为1，公差为1的等差数列

（2）

6．（陕西省汉中市2022届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知等差数列的前n项和为，满足，___________.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,
若选择条件①，则由，
得，
解得，
；
若选择条件②，则由，
得，
解得，
；
若选择条件③，则由，
得，
解得，
；
（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，
则，
的前n项和
.
7．（山西省太原市2022届高三二模数学（文）试题）已知数列为公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值.
【答案】(1)
(2)20

【分析】（1）根据题意直接列出关于和的方程组，解出即可；
（2）利用裂项相消法求出，再解即可.
(1)
数列为公差d大于0的等差数列，，且，，成等比数列，
所以，解得
整理得
(2)
由（1）得，.
所以.
由于，解得m=20.
8．（江西省宜春市八校2022届高三下学期联合考试数学（文）试题）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
(1)
设等差数列的公差为，由题意可知.
即，又，得，
因为，所以，.
故通项公式.
(2)
，
，
，


，
所以.
9．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（文）试题）在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合函数的单调性得到数列的最大项和最小项，解出，可得等比数列的通项公式；
（2）用错位相减法求数列的前n项和
【详解】（1）由题意，，
结合函数的单调性，可知，
所以数列中的最大项为，最小项为，
所以，即，
所以等比数列的公比，
（2），
，
，
两式相减得：，
故.
10．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文科）试题）公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列．
(1)求的前项和；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，可求得数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，
，，，
由题意可得，即，解得，
所以，，
所以，.
（2）解：，
所以，.
11．（2022·陕西西安·西安中学校考一模）已知数列的前项和是，且，数列的前项和是，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析

【分析】（1）由，结合，求得的通项公式；又由，得到，两式相减得到，结合等比数列的定义，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，结合乘公比错位相减法求和，求得，即可得到结论.
(1)
解：由，得，
所以，
当时，满足上式，所以；
由，可得，
两式相减可得：，所以，即，
令，可得，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，可得，
故数列的通项公式为，数列的通项公式为.
(2)
解：由（1）知，
设，
则，
，
两式相减可得
，
所以，因为，可得
即．
12．（2022·陕西渭南·统考一模）已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由韦达定理，解出不等式中的系数，得，可求出公差和通项.
（2）把（1）中结论代入，得数列通项，用裂项相消求前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
关于的不等式的解集为.
和4是方程的两个根，由韦达定理有，
解得，所以，.
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，
则.
数列的前项和

.
13．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为为等差数列的前n项和，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用与之间的关系与等差数列的基本量计算即可写出通项公式.
（2）利用分组转化求和即可求得.
【详解】（1），；
，，
，
设等差数列的公差为
则，，
，，
．
（2），



14．（河南省多校联盟2022届高考终极押题（A卷）数学（文）试题）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意得，即，当时，求出首项，当时，利用，求解即可；（2）根据题意得，裂项求和，求出，先证明，再利用可求数列的单调性，根据单调性求解即可证明.
(1)
因为是与的等差中项，所以，
即，当时，，解得；
当时，，所以，
整理得，即，
因为数列的各项均为正数，所以，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
即.
(2)
根据题意得，
所以，
所以
，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以

所以数列在上单调递增，所以，即成立，
综上所述：.
15．（河南省郑州市2022届高三第三次质量预测文科数学试题）已知数列满足，其中为的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件写出等式，与已知式子相减，利用等比数列通项公式即可得到答案.（2）利用分组求和法可得答案.
【详解】（1），，
当时，可得．
当时，，则，即，且．
故是以1为首项，2为公比的等比数列                
所以
（2）由题意，所以，           
设的前n项和为

16．（第四章数列（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（苏教版2019选择性必修第一册））已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)an＝×3n－1

【分析】（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.
【详解】（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
17．（辽宁省铁岭市六校2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）设数列的前n项和为，且满足（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由，得到，两式相减得到，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）证明：当时，，解得，
由，可得，
两式相减得，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）可得，所以，
则，
则，
两式相减可得
，
所以．
18．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式；
（2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，由，得，
两式相减得，即，
利用累乘可得，
即，因为，所以；
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，裂项可得，
则.
所以数列的前项和
19．（陕西省西安中学2022届高三下学期八模文科数学试题）记为等比数列的前项和，且公比，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若是递增数列，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用等比数列通项公式和前n项和公式的基本量进行运算即可.
（2）是递增数列，利用恒成立即可求解.
（1）
∵等比数列中，，，
∴，解得或（舍），
∴．
（2）
由，得，
则，
因为是递增数列，所以，故，即，
因为是递减数列，所以该数列的最大项是，
所以的取值范围是．
20．（山西省吕梁市2022届高三三模文科数学试题）已知正项等比数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题设条件解出公比，即可求解（2）先求，再化简，最后根据的特征，采用裂项相消法求其前项和
(1)
由题意知．
设等比数列的公比为，则，
解得或（舍去），
所以．
(2)
由（1）可得，
所以，
所以．
即的前项和．
21．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）文科数学试题）已知数列的前项和为，且．
(1)证明是等比数列；
(2)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）代入可得；当时，由与关系可推导得到，由等比数列定义可得结论；
（2）由等比数列通项公式可推导得到，进而得到，采用分组求和法和错位相减法可求得结果.
（1）
当时，，解得：；
当时，，，
即，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）
由（1）得：，，；
，
令，
则，
，，
.
22．（内蒙古赤峰市2023届高三下学期1月模拟考试文科数学试题）已知单调递增的等差数列，且，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1) 根据已知条件，应用等差数列通项公式结合三项成等比求解即可；
(2) 根据与之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，
再应用等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解.
【详解】（1）设递增等差数列的公差为，由，，，
又，化简得．则，，
所以的通项公式为．
（2）因为与之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以．
23．（内蒙古呼伦贝尔市满洲里市2022届高三三模数学（文）试题）已知数列，，为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列，并求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析，

【分析】（1）由得到，，由利用数列通项和前n项和关系求解；根据，利用等比数列定义求解.
（2）由（1）得到，再利用并项法求解.
（1）
解：当，
所以，
当，
即，
所以
所以；
（2）
当，
所以，
因为，
所以，
所以是，
所以，
所以，
令，
则=-1+，
，
.
24．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（文）试题）已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式;
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件可得，解出即可得答案；
（2）利用裂项相消法求出答案即可.
(1)
设等差数列的公差为，
由，可得
解得，                                     
所以
(2)
由（1）可得    
所以
25．（宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）求出等比数列的公比即可得其通项公式，再求出等差数列的公差，求出其通项作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求解作答.
（1）依题意，等比数列的公比，则有，因此，，由得，等差数列的公差，，所以数列、的通项公式分别为：，.
（2）由（1）知，，则，于是得，两式相减得：，所以.
26．（新疆乌鲁木齐地区2022届高三第二次质量监测数学（文）试题（问卷））设数列是由正数组成的等比数列.其中，.
(1)求数列的通顶公式；
(2)若数列是公差为1的等差数列，其中，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公比，由此求得数列的通顶公式；
（2）首先求得，然后利用错位相减求和法求得.
(1)
设正项等比数列的首项为，公比为，，
依题意，解得，所以.
(2)
依题意，数列是公差为1的等差数列，其中，即.
所以，
，
，
两式相减得
，
所以.
27．（江西省南昌市2022届高三第三次模拟测试数学（文）试题）是各项均为正数的等差数列，其前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，若的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由可构造方程求得等差数列的公差，由等差数列通项公式可得；
（2）由（1）可求得，采用裂项相消法可求得，结合可证得结论.
(1)
设等差数列的公差为，
，，两式作差得：，
，，解得：，
.
(2)
由（1）得：，，

，.
28．（江西省九江市2022届第三次高考模拟统一考试数学（文）试题）已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）当时可求得，由与关系，结合的值可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得数列的通项公式，采用裂项相消法可求得结果.
（1）
当时，，即，解得：；
当时，由得：，，
又，满足，数列是以为首项，为公比的等比数列，
.
（2）
由（1）得：，
数列的前项和为：.
29．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知为数列的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求前项的和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；
（2）结合（1）得，进而分组求和即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，当时，，解得，
当时，，，
所以，即，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
所以，
记前项的和为，
所以，
.
30．（贵州省2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考（一）数学（文）试题）已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．
【答案】(1)（）
(2)5

【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.
（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.
【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，
则由题意得：，即，解得：或，
因为数列是递增的等比数列，所以，即，，
所以，
故数列的通项公式为（）.
（2）由（1）得：（），
则
，①
即，②
则得：
即（），
所以（），
设，则（），
因为在上单调递减，
所以是单调递减数列，
又有，，
所以当且时，成立，
故使成立的最大正整数的值为.