全国甲卷+全国乙卷高考数学复习 专题13 极坐标与参数方程解答题30题专项提分计划

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全国甲卷全国乙卷高考数学复习
专题13 极坐标与参数方程解答题30题专项提分计划

1．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.
【答案】(1)；.
(2).

【分析】(1)利用极坐标和直角坐标之间的转化公式可求曲线C的直角坐标方程，消去参数可求直线l的普通方程；
(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的最值讨论.
【详解】（1）由，得.
将代入上式，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
由（为参数），消去参数t得直线l的普通方程为.
（2）设曲线C的参数方程为（为参数），
点P的坐标为，
则点P到直线l的距离.
又直线l与C相交于A，两点，为定值，
所以当时，点P到直线l的距离最大，为，此时的面积最大，
所以当面积最大时点P的坐标为.
2．（河南省联考2022-2023学年高三核心模拟卷（上）文科数学（三））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线相交于点，，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用加减消元法、二倍角的余弦公式，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；
（2）把直线的普通方程化成标准参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可.
【详解】解：（1）由（为参数），所以.
则直线的普通方程为：；由，
所以
又，，
所以，
则曲线的直角坐标方程为：.
（2）由（1）可知：直线的参数方程标准形式为（为参数），
将该方程代人曲线的直角坐标方程化简可得：，.
设点，所对应的参数分别为，，
所以，，则，，
所以.
3．（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的一般式方程和曲线C的标准方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）对于直线l消去参数t即可求得一般方程，对于曲线C，运用 ， ，即可求得标准方程；
(2)由于点P在直线l上，直线l的参数方程，椭圆C联立方程，运用韦达定理即可求解.
【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去,化为一般式方程为，
曲线C的极坐标方程为，
，化为标准方程为；
（2）设直线l的参数方程为（t为参数），即代入，
得，，
则．
4．（河南省汝州市2022届高三5月模拟考试理科数学试题）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线与的直角坐标方程；
(2)已知直线l的极坐标方程为，直线l与曲线，分别交于M，N（均异于点O）两点，若，求．
【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，
(2)

【分析】（1）的参数方程消参可求出的直角坐标方程；的极坐标方程同乘，把，代入的极坐标方程可求出的直角坐标方程.
（2）设M、N两点的极坐标分别为、，用极径的几何意义表示出，即，解方程即可求出.
【详解】（1）解：的参数方程为（t为参数），把代入中可得，
，所以曲线的直角坐标方程为，
的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为，
综上所述：曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，
（2）由（1）知，的极坐标方程为，
设M、N两点的极坐标分别为、，
则，，由题意知可得，
因为，所以，
所以，故，所以或（舍）
所以.
5．（四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学（文）试题）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，为常数且），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：．
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)点，直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率．
【答案】(1)；
(2)±1

【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解，进而可求.
【详解】（1）
，
；
（2）将代入得，，因为点 在圆内，故 在点两侧，由题意知，，因此，即，
故，解得，进而 因此斜率为±1．
6．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若把直线l向上平移个单位长度后与曲线C有公共点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为.
(2)

【分析】（1）曲线C的参数方程消参可得普通方程，直线l运用极坐标和直角坐标转换公式即可化为直角坐标方程；
（2）求出平移后的直线方程，与曲线方程联立方程组，由方程组有解，求实数a的取值范围．
【详解】（1）由得，
所以 ，
所以曲线C的普通方程为.
由，得直线l的直角坐标方程为.
（2）把直线l向上平移个单位长度后所得直线的方程为，即，
由，消去得，
方程组有解，所以 ，即实数的取值范围是 .
7．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）对曲线C的极坐标方程变形后，利用求出答案；
（2）将直线的参数方程化为，联立椭圆方程后，利用的几何意义求弦长.
【详解】（1）变形为，
即，
因为，故，
即；
（2）变形为，
与联立得：，
故，
故.
8．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)求曲线与曲线的交点的极坐标.
【答案】(1)；
(2)和.

【分析】(1) 将的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程即可；
(2)将的极坐标方程化成普通方程，解出两曲线的直角坐标交点，再化成极坐标即可.
【详解】（1）解：（为参数）化为普通方程为，
整理得：，
把代入，
可得，
即的极坐标方程为；
（2）解：曲线的直角坐标方程为，
由，得或，
当交点坐标为时，化为极坐标为；
当交点坐标为时，化为极坐标为；
则与的交点的极坐标为和.
9．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线上有且只有一个点到直线的距离为，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)或.

【分析】（1）对于直线的参数方程，利用加减消元法可消掉参数，得到普通方程；对于曲线的极坐标方程，两边乘以即可求得其直角坐标方程.
（2）求出圆心到直线的距离，然后利用圆的特征可得，即可求出答案
【详解】（1）由（为参数，）消去，得，
所以直线的普通方程为.
由，得.
将代入，得，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）由（1）知曲线是圆，其圆心为点，半径为1，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
则，
所以或，解得或.
故实数的值为或.
10．（江西省南昌市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．
（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．
【详解】（1）由参数方程，得普通方程，
所以极坐标方程.
（2）设点对应的参数分别为，将代入得
得所以,
直线l（t为参数）可化为，
所以.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学（文科）试题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)，
(2)

【分析】(1)根据题意，消参即可得到曲线C的普通方程；分别将，代入直线l的极坐标方程即可求解；
(2) 法一：将直线方程与曲线方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间距离公式即可求解；方法二：将曲线C的普通方程代入直线l的参数方程，利用参数的几何意义解求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以．故曲线C的普通方程为．
因为，，所以．
故直线l的直角坐标方程为．
（2）法一：由，
不妨取，．
因为点，
所以，．
所以．
法二：因为点在直线l上，所以直线l的参数方程为（t为参数），
设A，B对应的参数分别为，，将代入，得，
，
所以，．
因为，，
所以，
所以．
12．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.
(1)曲线C与坐标轴交于A，B两点，求直线AB的极坐标方程；
(2)若l与曲线C有公共点，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分别令求与坐标轴交点，则可由两点坐标得出直线方程，最后再转为极坐标方程；
（2）将直线l化为普通方程，与曲线C方程联立，消元，参变分离，即可通过讨论值域确定参数的范围.
【详解】（1）令得，则，即，
令，则，则，即，
可知，所以直线AB的方程为，即.
由，可得，直线AB的极坐标方程为.
（2）因为，所以，
所以直线转化为普通方程为：，
联立与的方程，将，代入中，，
要使与有公共点，则有解.
令，，所以，所以，则的取值范围为.
13．（河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2022-2023学年高三下学期考试数学（文科）试题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）消去参数t可得曲线C的方程，利用公式法转化得到直线l的直角坐标方程；
（2）利用直线l的参数方程中t的几何意义求解.
【详解】（1）∵（t为参数），∴，所以，
所以曲线C的方程为
又∵，，∴
所以直线l的直角坐标方程为；
（2）∵在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）
设A，B对应的参数分别为与
将直线l的参数方程代入到得．
∴，
∴，，
∵，
∴，
所以．
14．（陕西省西安工业大学附属中学2022-2023学年高三上学期第六次适应性考试理科数学试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；
(2)若点，分别是曲线和上的点，且，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将参数方程转化为一般方程得到，设，则，代入计算可得答案.
（2）设，则，代入计算得到，得到答案.
【详解】（1），则，即，即，
设，则，即，即，
，故，即
（2）设，则，
则

15．（陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
(1)写出曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线交于两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的互化求解即可；
（2）根据直线的参数方程的几何意义求解即可.
【详解】（1）解：曲线：，
所以，曲线的直角坐标方程为．
（2）解：法1：
将直线的参数方程为（t为参数）代入曲线的直角坐标方程得：
，整理得，
设方程的实数根为，
所以，，
所以一正一负，
所以，由直线的参数方程几何意义得：
．
法2：
由（1）知曲线表示圆，圆心为，半径为
直线（t为参数）化为直角坐标方程为，
所以，曲线的圆心到直线的距离为，
所以，直线与曲线相交，
因为，即点在圆内，
所以，．
16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程；
(2)设与交于两点，若，求的直角坐标方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）消去参数可得的直角坐标方程，由化简可得的极坐标方程；
（2）联立，设两点所对应的极径为，则，利用韦达定理得可得，
从而得到的直角坐标方程.
(1)
因为的参数方程为（为参数），所以消去参数可得的直角坐标方程为，即，
又，所以的极坐标方程为.
(2)
由于与交于两点，联立得，
设两点所对应的极径为，则，
故，
整理得，则，
所以的直角坐标方程为.
17．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)设，若直线与圆相交于A，两点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)4

【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式，求得圆的直角坐标方程
（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得的最大值
(1)
圆的极坐标方程为
则.
所以圆的直角坐标方程为
(2)
将直线的参数方程（为参数）代入中，
得
设点A，B所对应的参数分别为和，
，则，
则
当时，取到最大值为4.
18．（江西省赣州市2023届高三下学期阶段性考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；
（2）由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算.
【详解】（1），得，
根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：.
（2）由（1）可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为（t为参数），
代入曲线C的普通方程得，
由韦达定理可知：，，
所以.
19．（全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与有公共点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再结合，即可得到直线方程；
（2）将参数方程代入（1）中的直线方程得，则转化为有解，令，，则设，求出其值域即可.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，，得，
即的直角坐标方程为.
（2）将，代入，得，
所以，即，
要使与有公共点，则有解，
即有解，令，则，
令，，则对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
所以，
解得，即的取值范围是.
20．（甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期12月月考数学（理）试题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于、两点（在轴上方），求的值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】(1)根据参数方程化为普通方程的方法和极坐标化为直角坐标方程的公式求解；(2)根据直线的参数方程的几何意义求解.
【详解】（1）由，消去参数得，
即直线的普通方程为；
由，得，
∵，，∴，
即曲线的直角坐标方程.
（2）直线的斜率为，则的斜率为，所以的倾斜角为，
故设直线的参数方程为（为参数），
代入，得，
设点对应的参数为，点对应的参数为，
则，且在轴上方，有，.
故，
即的值为.
21．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：与曲线C：（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知射线m：与直线l和曲线C的公共点分别为A，B，，当时，求α的值．
【答案】(1)直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
(2).

【分析】（1）直接将直线极坐标化得，即，对曲线参数方程消去参数得，则得到其极坐标方程；
（2）由题有，化简得，再根据范围即可得到答案.
【详解】（1）由直线得，
即，
直线的极坐标方程为，
由曲线(为参数)的参数方程化为普通方程得，
则曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知，，
又，，
即，化简得，
即，解得，
又，，，解得.
22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角函数的差角公式，整理直线方程，根据极坐标与直角坐标的转换公式，可得答案；
（2）将参数方程整理为普通方程，求得，由题意，建立方程，将问题转化为直线与圆的位置问题，可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
即.又∵，，
∴，即直线l的直角坐标方程为；
（2）由，且，则曲线C的普通方程为，
其与x轴的交点分别为，.
设点，由，得，
即，
∴，它表示圆心为，半径为的圆.
∵点既在直线l上，又在圆E上，∴，即，
∴，
即实数m的取值范围为.
23．（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中，已知曲线：（），：，，分别为曲线和曲线上的动点，且的最小值为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求和的极坐标方程；
(2)若射线与，在第一象限分别交于，两点，且，求的极坐标方程.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由及的最小值求出，再根据将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程.
（2）依题意设射线的极坐标方程为，即可得到，，再根据求出，最后代入的极坐标方程求出，即可得解.
【详解】（1）解：对于曲线：，则，，
因为，又的最小值为，所以，即，
由，得，由可得，即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）解：依题意设射线的极坐标方程为，则，，
依题意，即，所以，解得或，
又，所以.
24．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程；
(2)设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最小值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）先根据参数方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再根据伸缩变化的性质求解的普通方程；
（2）先根据极坐标方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得结果.
【详解】（1）由题意得曲线：（为参数）的普通方程为，
由伸缩变换，得，
代入，得，
所以曲线的普通方程为；
（2）因为直线的极坐标方程为，
所以直线的直角坐标方程为，
设点，则点到直线的距离为

，
所以当时，取得最小值，
即点到直线距离的最小值.
25．（2022届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试数学（理）试题）如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．

（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；
（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．
【详解】（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，
所以半圆的极坐标方程为，
曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．
（2）由（1）得：|MN|＝|．
显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．
此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，
设PC2与直线MN垂直于点H，
如图所示：

在Rt△OHC2中，|，
所以点P到直线MN的最大距离d，
所以．
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
26．（河南省新乡市2022-2023学年高三上学期第一次模拟数学（理）试题）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点的极坐标为，与曲线交于两点，求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式化成极坐标方程；
（2）将点的极坐标化为直角坐标，得点为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解.
【详解】解：（1）曲线C的直角坐标方程为，即，
因为所以，即，
故曲线C的极坐标方程为.
（2）将代入，得.设A、B两点对应的参数分别为，，则，.因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以.
【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.
27．（贵州省兴义市顶效开发区顶兴学校2023届高三上学期期中考试数学（文）试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求和的极坐标方程；
(2)直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）先把参数方程化为普通方程，再利用极坐标的转化公式化为极坐标方程；
（2）把代入两个极坐标方程求得，然后可得.
【详解】（1）因为，所以消去参数可得，即；
由，，可得.
设，因为，所以，
消去参数可得，即；
由，，可得.
（2）把代入的极坐标方程，得，
把代入的极坐标方程，得，
所以.
28．（四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三上学期九月月考文科数学试题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，点，求的值.
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）消参得直线的普通方程；代入可得曲线的直角坐标方程；
（2）直线l过P，将直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得，结合韦达定理、直线参数方程的几何意义，可得，，即可求.
【详解】（1）由（为参数）消t得，故直线的直角方程为；
由得，即，曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程并整理得，
设A，B的对应的参数分别是则，则，
∵，则直线l过P，由直线参数方程的几何意义得，，，
∴
29．（贵州省贵阳市2022届高三适应性考试（二）数学（文）试题）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，．
(1)直接写出曲线的直角坐标方程，若以为参数，写出曲线的参数方程；
(2)若点在曲线上，且点到点的距离为，求点到原点的距离．
【答案】(1)；（为参数，）；
(2).

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线的直角坐标方程，再写出其参数方程作答.
（2）利用（1）中曲线的参数方程设出点坐标，利用两点间距离公式计算作答.
(1)
由曲线的极坐标方程得：，将且代入得：，
即，而，，即，
曲线的直角坐标方程是，参数方程为（为参数，）.
(2)
由（1）设点的直角坐标为，，
则，化简得，而，则，
于是得点，，
所以点到原点的距离为．
30．（内蒙古通辽市2022届高三4月模拟考试数学（理科）试题）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．
(1)求曲线，的直角坐标方程；
(2)设，求．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线的直角坐标方程；
（2）利用直线参数方程的几何意义去求的值简单快捷.
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数t，得，即曲线的直角坐标方程为．
由曲线的极坐标方程，得，则
即的直角坐标方程为．
（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为（t为参数），
代入的直角坐标方程，得．
设M，N对应的参数分别为，，则，，
所以．