专练04 线段或数轴上的动点问题（B卷解答题）-七年级数学上学期期末专项训练（北师大版，成都专用）

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专练04 线段或数轴上的动点问题（B卷解答题）
1．点在线段上，．
(1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；

①在还未到达点时，的值为 ；
②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；
(2) 若是直线上一点，且．则的值为 ．

【答案】（1）①；②;（2）或或或
【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴
②设运动秒
，
分两种情况
A:在右侧，
，分别是，的中点
，，

∴
B:在左侧，
，分别是，的中点
，，

∴
（2）∵BC=2AC．
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，
∴CD=6x，
∴ ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD=CD，
∴2x+CD-x+CD=CD，
x=-CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD=CD，
∴x+CD-2x+CD=CD，
CD=x，
∴；
|AD-BD|=BD-AD=CD，
∴2x-CD-x-CD=CD，
∴CD=
；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD=CD，
∴2x-CD-x-CD=CD，
CD=6x，
∴．
综上所述，的值为或或或
2．【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点表示数-10，点表示数20，若点从点，以每秒3的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒.
（2）点在运动过程中表示的数为 （用含的代数式表示）；
（3）求为何值时，点是线段的“二倍点”；
（4）同时点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.

【答案】（1）是   ；（2）；（3）或5或；（4）或或
【详解】解：（1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长，符合“二倍点”的定义，所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
故答案为：是．
（2）由题意得出：
点在运动过程中表示的数为：20-3t；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
当AM=2BM时，30-3t=6t，解得，；
当2AM=BM时，60-6t=3t，解得，；
当AM=BM时，30-3t=3t，解得，；
答：当或5或时，点是线段AB的“二倍点”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
当AN=2NM时2t=10t-60，解得，；
当2AM=NM时，60-6t=5t-30，解得，；
当AM=2NM时，30-3t=10t-60，解得，．
答：当或或时，点是线段的“二倍点”．
3．如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.
(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;
(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.

【答案】（1）45s;（2）或 ;(3)2
【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t=90+30+15，
解得t=45，
所以经过45秒时间P、Q两点相遇．
（2）①当P在线段AB上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴PA=60，PB=30，
∴OP=OA+AP＝30+60＝90，
∴点P、Q的运动时间为90秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，
∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
②点P在线段AB延长线上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴BP=90,AP=180,
∴OP=OA+AP=30+180=210,
∴点P、Q的运动时间为210秒，
∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，
∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
（3）如图所示：

∵E、F分别是OP、AB的中点，
∴OE=OP=t，∴OF=OA+AB=30+45=75，
∴.
4．已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c．

(1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c =______；
(2)如图3，若a，b，c满足，
①=_____，b=_____，c=_____；
②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值．
【答案】(1)-7，3，-2
(2)①-5，-4，3，②当A为BC的中点时，t=3
【解析】（1）
解： “a”与“7”相对，“b”与“-3”相对，
∵相对面上的两个数互为相反数，
∴a=-7，b=3，
∵点C为线段AB的中点，
∴c==-2，
故答案为：-7，3，-2；
（2）
解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c-3）2≥0，
∴a+5=0，b+4=0，c-3=0，
∴a=-5，b=-4，c=3，
故答案为：-5，-4，3；
②当点A与点C重合时，则
2t=3-（-5），
解得t=4，
当点B与点C重合时，则
t=3-（-5），
解得t=8，
可见点A先到达点C，
只存在AB=AC，且点A在点B右侧而在点C左侧的情况，
∴=-5+2t，
解得：t=3．
∴当A为BC的中点时，t=3．
5．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．

【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，

由可知，



②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，

，


综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，

点停止运动时，，
点、分别是、的中点，






当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，

点停止运动时，，
点、分别是、的中点，






当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
6．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．

（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；
故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，
所以．
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，

因为，所以．
又因为，
所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，
，
综上所述，的长为或．
7．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，

（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝　 　．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，
∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，

设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，
∴，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，
∴；
当点E在点A的左侧，如图，

设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，
∴，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．
故答案为：或．
8．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．


(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长___________；
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段GB上且，在G，H的运动过程中，求的值___________．（用含t的代数式表示）
【答案】(1)；20；30
(2)3或75
(3)
【详解】（1）∵多项式是关于x的二次多项式，
∴，
∴；
∵二次项系数为b，
∴；
∴线段．
（2）分两种情况：
①当点C在之间时，如图1，

∵，，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴；
②当点C在B右侧时，如图2，

∵，，
∴，
∴，
综上，的长是3或75．
（3）由题意得，点G表示得数为：，点H表示的数为：，
∵，，
∴点G在线段之间，
∵D为中点，
∴点D表示的数为：，
∵F是中点，
∴点F表示的数为：，
∵，，
∴，
∴点E表示的数为：，
∴，
∴的值为．
9．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1．
【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，
故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB＝4，
故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12
∴；
综上所述或1
故答案为或1．
10．已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，且二次项系数为b．如图，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，已知AC＝6AB．
（1）直接依次写出a、b、c的值：　 　，　 　，　 　；
（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，E为线段AP的中点，F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，则的值是 　 　；
（3）若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒2个单位长度的速度向左运动，动点M从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，3＜t时，数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度，且点N在点M的左侧，T为线段MN上的一点（点T不与M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．

【答案】（1）16，20，﹣8；（2）2；（3）PT＝1或PT
【详解】解：（1）∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为
∴a＝16，＝20，
∴AB＝4，
∵AC＝6AB，
∴AC＝24，
∴，
∴，
故答案为：，，
（2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：
①当t时，
EF＝AE﹣AF
APBQ+AB
（24﹣2t）（20﹣3t）+4
＝6，
∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，
∴2；
②当时，此时点与点重合，
即AQ＝0，点F对应的数值为（16+20）＝18；
此时点P在点O的右侧，即OP＝2t﹣8，
而PB＝|2t﹣8﹣20|＝|28﹣2t|，
则点E对应的值为（2t﹣8+16）＝t+4，
则EF＝|18﹣（t+4）|＝|14﹣t|，
而BP﹣AQ＝PB＝|28﹣2t|，
故2；
故答案为：
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16﹣2t，Q点表示的数为20﹣2t，M点表示的数为6t﹣8，N点表示的数为6t﹣10，T点表示的数为x，
∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|，
∵MQ﹣NT＝3PT，
∴28﹣8t﹣（x+10﹣6t）＝3|16﹣2t﹣x|，
∴x＝15﹣2t或x2t，
∴PT＝1或PT．
11．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．

(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若，试求线段的长．
【答案】(1)，
(2)不变化，理由见解析
(3)①；②
【详解】（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴，
故答案为：，
（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ，，
∵点M是的中点，N是的中点
∴，
即

（3）解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是的中点
∴AD=AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴，
∴，
∵
即
当时．

∵
∴不符合题意，舍去
当时．

综上所述，线段的长为.

12．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）
【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=2，CE=BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=，
∴CF=DF-DC=；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DC-DF=AC-4CF，
∴AC=10CF，
∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，
∴，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DF-DC=4CF-AC，
∴AC=6CF，
∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，
∴，
综上所述，的值为或．
（3）如图，

设AC=x，BC=y，即x-y=a，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=x，CE=BC=y，
∵DC的中点为 ，CE的中点为，
∴，
∴，
∵的中点为 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；
②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．

【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：

BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴＝2；
②D在AB之间时：

BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴＝2；
③D在A点左侧时：

BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴＝2；故＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．∴AE＝EP，BF＝CF，
①

EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴＝2．
②

EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴＝2．
③

EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
14．如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点．

(1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条；
②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；
(3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=AD时，请直接写出t的值．
【答案】(1) ①6条；②10；(2)，证明见解析；(3) .
【详解】解：(1) ①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条；
②∵BD=6，BC=1，
∴CD=BD-BC=6-1=5，
当PA+PD的值最小时，P为AD的中点，
∴；
(2).
如图2示：

∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴，
∴



；
(3)如图示：

∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，
∴，，
根据E，F两点同时从C，D出发，速度是2cm/s，1cm/s，Q为EF的中点，运动时间为t，
则有：，，
当AQ+AE+AF=AD时，
则有：
即是：
解之得：.
15．【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．

(1)线段的中点       这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；

(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝       cm；

(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或或或或或6
【解析】（1）
解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）
解：①当N为中点时，CN＝＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）
解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝．
综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．