初中数学北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组6 一元一次不等式组同步练习题

第5讲  不等式组的应用
 

知识点1 实际应用类问题

对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组的解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．

【典例】

例1 （2020春•蔡甸区校级月考）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．

（1）求食品和矿泉水各有多少箱？

（2）现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？

（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费＝每辆车的运费×租车辆数，分别求出三个运输方案所需总运费．

例2 （2020春•汉阳区期末）某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．

（1）求甲、乙每件商品的进货价；

（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？

（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，解决最值问题．

【随堂练习】

1．（2020秋•岳麓区校级月考）校园体育节的来临，博才中学决定搭配A、B两种园艺造型共50个，最多可以提供385盆甲种花卉和235盆乙种花卉．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．

（1）八年级课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

2．（2020春•宜春期末）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．

（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？

（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？

知识点2 表格图形类问题

在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算.

【典例】

例1（2020秋•武汉月考）某超市看好A，B两种水果的市场价值，决定每天购进A，B两种水果共100千克，经调查这两种水果的进价及售价如表所示，设购买A种水果x千克（x为整数）．

（1）用含有x的式子表示：该超市每天投入资金_________（元），每天利润_________（元）；（请直接写出结果）

（2）若该超市每天投入资金不少于1160元，每天利润又不少于514元，则共有几种不同的购买方案？

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的A种水果每千克捐出2a元，B种水果每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

例2（2020春•昆明期末）某县为了推进“厕所革命”，改善农村生活卫生条件，雨甸村委会计划为400户居民修建A、B两种型号的三级污水处理厕所共25个，预计使用资金60万元（资金由政府出资一部分，其余由各户筹集）．

三级污水处理厕所的型号、修建费用、可供使用的户数如下表：

（1）按计划可以修建A、B两种型号的三级污水处理厕所各几个？

（2）如果政府批给该村委会修建A型三级污水处理厕所不超过7个，求出满足要求的所有修建方案．

（3）在（2）的所有方案中，哪种方案最省钱？如果政府出资39万元，每户居民平均至少应筹集多少钱？

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

【随堂练习】

1．（2020春•潜山市期末）为举办蔬菜博览会，某地有关部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉情况如下表所示：

结合上述信息，解答下列问题

（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配_________个B种造型；

（2）符合题意的搭配方案有哪几种？

（3）若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1200元，试说明选用（1）中哪种方案成本最低？

2.（2020•锦州二模）为了让农民文化生活更加丰富多彩，某村决定修建文化广场，计划在一部分广场地面铺设相同大小规格的红色和白色地砖．经过市场调查，获取地砖市场相关信息如下：

（1）如果购买红色地砖40块，白色地砖60块，共需付款920元；如果购买红色地砖50块，白色地砖35块，共需付款750元，求红色地砖与白色地砖的原价各是多少元？

（2）经过测算，修建这个文化广场需要购买两种地砖共计12000块，其中白色地砖的数量不少于红色地砖的数量的一半，且白色地砖的数量不多于7000块，求购买红色地砖与白色地砖各多少块时，付款最少．

知识点3 新定义类问题

【典例】

例1（2020春•润州区期末）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：

对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．（注：取英文单词minimum（最少的）、maximum（最多的）前三个字母）

例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；min{﹣1，2，a}，

（1）min{﹣2014，﹣2015，﹣2016}＝_________；max{2，x2+2，2x}＝_________；

（2）若max{2，x+1，2x}＝2x，求x的取值范围；

（3）若min{4，x+4，4﹣x}＝max{2，x+1，2x}，求x的值．

【方法总结】

本题主要考查新定义下解不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到x的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2019秋•重庆月考）阅读以下材料：

对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如：M{﹣1，2，3}；min{﹣1，2，3}＝﹣1；

min{﹣1，2，a}

（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；

（2）如果M{2，x+1，2x}＝min{4，3，2x}，求x的值．

2．（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min据此解决下列问题：

（1）min；

（2）若min2，求x的取值范围；

（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．

综合运用

1．（2020秋•中原区校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．

（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．

2．（2020秋•开福区校级期中）为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？

（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？

3．（2020春•三水区期末）三水某工厂最近准备复工复产，需要面向社会招聘A，B两个工种的工人共150人．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人．请回答以下问题：

（1）若设A工种工人人数为x，那么B工种工人人数为____________________；

（2）请利用不等式的知识求出招聘的所有方案；

（3）若A，B两个工种的工人的月工资分别是5000和8000元，怎样招聘可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是多少？

4．（2020春•昭通期末）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：

（1）若工厂计划获利13万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂投入资金不超过45万元，且获利不少于15万元，问该工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）条件下，求出最大利润．

5．（2020春•阜平县期末）某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？（先填写表格，再设计方案）．

设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节．

6．（2020•张家界）阅读下面的材料：

对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．

根据上面的材料回答下列问题：

（1）min{﹣1，3}＝__________；

（2）当min时，求x的取值范围．