北师大版八年级下册1 图形的平移综合训练题

第6讲 平移与旋转

知识点1  平移的性质

1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．

平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；

2.图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．

3.平移的性质：

（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；

（2）对应线段平行（或共线）且相等；

（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．

【典例】

例1（2020春•龙岗区校级期末）如图，Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移BC的长度得到△DEF，DE交AC于点G，若AB＝6，BC＝8，则EG＝（　　）

A．3 B．4 C．4.5 D．5

【方法总结】

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

例2（2020春•仁寿县期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③BD＝CH；④∠C＝∠BHD；⑤阴影部分的面积为6cm2．其中正确的是（　　）

A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤

【方法总结】

本题考查了直角三角形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

例3（2020春•郫都区期末）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．

【方法总结】

本题考查了平移的性质，熟记性质并判断出阴影部分面积＝梯形BGFE的面积是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•淮阳区期末）如图，将周长为18的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）

A．22 B．24 C．26 D．28

2．（2020秋•开福区校级期末）如图，将△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，若EF＝13，EC＝7，则平移的距离为__________．

3．（2020春•扶风县期末）如图，已知线段DE是由线段AB平移而得，AB＝DC＝5cm，EC＝6cm，则△DCE的周长是__________cm．

知识点2  平移作图

1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法

2.平移作图的步骤：

（1）找关键点；

（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；

（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．

【典例】

例1（2020春•汉阳区校级月考）已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），把△ABO向下平移3个单位再向右平2个单位后得△DEF．

（1）请在平面直角坐标系中画出△DEF；

（2）直接写出A、B、O三个对应点D、E、F的坐标；

（3）求△DEF的面积．

【方法总结】

本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

例2（2020春•石城县期末）如图，平面内有三个点，分别是点A、点B、点C．

（1）请建立一个适当的平面直角坐标系，使点A（﹣2，0），C（0，2）；

（2）直接写出B的坐标，连接AB、AC、BC，求出△ABC的面积；

（3）在平面直角坐标中将△ABC向下平移2个单位，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A'B'C'．

【方法总结】

本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

【随堂练习】

1.（2020•西山区校级一模）如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．

（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；

（2）求出△COA1的面积．

2．（2020春•阳西县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）求△ABC的面积；

（2）若先把△ABC先向下平移2个单位长度，然后再向右平移5个单位长度得到△A′B′C′，请作出△A′B′C′，并写出点B′，C′的坐标．

知识点3图形的旋转

图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 

图形旋转的性质：

1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，

2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

【典例】

例1（2020•洪山区校级模拟）如图，点D是等边△ABC内一点，将△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，连接BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE的度数为__________．

【方法总结】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．

例2（2020春•晋城期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：

（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1，按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；

（2）求△ABC的面积．

【方法总结】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•北碚区校级月考）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝8，BD＝7，则△AED的周长是（　　）

A．15 B．14 C．13 D．12

2．（2020•官渡区一模）如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点B的对应点 B1的坐标为__________．

知识点4 中心对称

1．中心对称图形与对称中心：

在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

2．中心对称和对称中心：

在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。

3．中心对称和中心对称图形的关系：

它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。

4．中心对称的特征：

成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。

【典例】

例1 （2020•永康市一模）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A． B． C． D．（0，﹣4）

【方法总结】

本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等边三角形的性质．

例2（2020秋•陆川县期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为__________．

【方法总结】

考查坐标的旋转变换问题；利用全等得到对应点的坐标是解决本题的突破点．

【随堂练习】

1．（2020春•舞钢市期末）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是__________．

   综合运用

1．（2020秋•柘城县期中）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，则阴影部分的面积是__________．

2．（2020秋•武侯区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到△A'B'C'，若△ABC的周长为8cm，则四边形ABC'A'的周长为__________cm．

3．（2020春•南充期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．

（1）直线OC与AB有何位置关系？请说明理由．

（2）求∠EOB的度数；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

4．（2020春•天宁区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移至点D的位置，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请在图中画出平移后的三角形DEF；

（2）若连接BE、CF，则这两条线段之间的关系是____________________；

（3）请在图中画出过点A且平行于BC的直线AM．

5．（2020春•抚州期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，位置如图所示，请按下列要求进行图形变换．

（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．