初中数学北师大版八年级下册1 图形的平移课后作业题

第6讲 平移与旋转

知识点1  平移的性质

1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．

平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；

2.图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．

3.平移的性质：

（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；

（2）对应线段平行（或共线）且相等；

（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．

【典例】

例1（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF．已EF＝8，BE＝6，CG＝3．则图中阴影部分的面积是________．

【方法总结】

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

例2（2020春•瑶海区期末）如图，已知两条射线BP∥CQ，动线段AD的两个端点A、D分别在射线BP、CQ上，且∠B＝∠ADC＝110°，F在线段AB上，AC平分∠DCF，CE平分∠BCF．

（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；

（2）求∠ACE的度数；

（3）若平行移动AD，使∠BEC∠CAD，求∠CAD的度数．

【方法总结】

本题考查平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

【随堂练习】

1．（2020春•江汉区月考）如图，将三角形ABC向左平移3cm得到三角形DEF，其中点E、B、F、C在同一条直线上，如果三角形ABC的周长是12cm，那么四边形ACED的周长是________cm．

2．（2020春•横县期末）如图1，直线CB∥OA，∠A＝∠B＝120°，E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．

（1）求∠AOB及∠EOC的度数；

（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；

知识点2  平移作图

1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法

2.平移作图的步骤：

（1）找关键点；

（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；

（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．

【典例】

例1 （2020春•凉山州期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．E点坐标是（1，5）．

（1）作出平面直角坐标系，并写出四边形ABCD各点坐标；

（2）若把四边形ABCD向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到四边形，A'B'C'D'请在图中画出四边形A'B'C'D'，并写出点A'、B'、C'、D'的坐标．

（3）求四边形ABCD面积．

【方法总结】

此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．

例2 （2020春•八步区期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．

（1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△A1B1C1．请在方格纸中画出△A1B1C1；

（2）求出△A1B1C1的面积．

【方法总结】

本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【随堂练习】

1．（2020春•太湖县期末）将如图所示的三角形ABC，先水平向右平移7格得三角形DEF，再竖直向下平移4格得到三角形GHQ，作出这两个三角形，并标上字母．

2．（2020春•香洲区校级期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点坐标为A（1，﹣4），B（6，﹣4），C（5，﹣2）．

（1）在方格纸中画出△ABC；

（2）求出△ABC的面积；

（3）若把△ABC向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度得到△A'B'C′，在图中画出△A′B′C′，并写出B′的坐标．

知识点3图形的旋转

图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 

图形旋转的性质：

1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，

2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

【典例】

例1（2020春•无棣县期末）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，

①指出旋转中心，并求出旋转的度数；

②求出∠BAE的度数和AE的长．

【方法总结】

本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．

  例2 （2020•汉阳区模拟）如图，在下列14×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．

（1）直接写出△ABO的形状；

（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABO绕点O顺时针旋转得△DEO，且点B的对应点E落在x轴正半轴上，操作如下：

第一步：在x轴上找一个格点E，使OE＝OB；

第二步：找一个格点F，使∠EOF＝∠AOB；

第三步：找一个格点M，作直线AM交直线OF于D，连DE，则△DEO即为所作出的图形．

【方法总结】

本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【随堂练习】

1．（2020春•襄汾县期末）如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE位置，延长BC交AD于F，交DE于G，若∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数．

2．（2020•西青区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．

（1）边AC的长等于________．

（2）以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到△A'B'C'，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．

知识点4 中心对称

1．中心对称图形与对称中心：

在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

2．中心对称和对称中心：

在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。

3．中心对称和中心对称图形的关系：

它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。

4．中心对称的特征：

成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。

【典例】

例1（2020春•平江县期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．

（1）哪两个图形成中心对称？

（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；

（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【方法总结】

本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．（3）题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．

  例2（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是________；

（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为________；

（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．

【方法总结】

此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020春•浦东新区校级期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．

（1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．

  综合运用

1．（2020秋•柘城县期中）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，则阴影部分的面积是__________．

2．（2020秋•武侯区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到△A'B'C'，若△ABC的周长为8cm，则四边形ABC'A'的周长为__________cm．

3．（2020春•南充期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．

（1）直线OC与AB有何位置关系？请说明理由．

（2）求∠EOB的度数；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

4．（2020春•天宁区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移至点D的位置，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请在图中画出平移后的三角形DEF；

（2）若连接BE、CF，则这两条线段之间的关系是____________________；

（3）请在图中画出过点A且平行于BC的直线AM．

5．（2020春•抚州期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，位置如图所示，请按下列要求进行图形变换．

（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．