初二数学北师大版春季班 第14讲 特殊的平行四边形--尖子班 试卷

第14讲  特殊的平行四边形

知识点1：矩形

1.矩形的性质：

（1）矩形具备平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线平分且相等

（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形

【典例】

例1（2020春•常州期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【方法总结】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．

例2（2020春•南京期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．

（1）求证：DE＝BF；

（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．

【方法总结】

本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

【随堂练习】

1.（2020春•蚌埠期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是_________．

2.（2020春•横县期末）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．

（1）求BC的长；

（2）求证：CE⊥EF．

3．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△BDE≌△FAE；

（2）求证：四边形ADCF为矩形．

知识点2：菱形

1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；

           （2）菱形的四边都相等；

           （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

           （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；

菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形；

【典例】

例1（2020春•东坡区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【方法总结】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

例2（2020•枣阳市校级模拟）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）

A．OMAC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND

【方法总结】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

例3（2020春•永州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB边上的中点，AE∥DC，CE∥DA．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）连接DE，若AC，BC＝1．求证：△ADE是等边三角形．

【方法总结】

本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020•金牛区模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_________时，平行四边形CDEB为菱形．

2．（2020春•呼和浩特期末）如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AD的中点，且AB＝5，AC＝6．

（1）△OEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）求线段EF的长．

3．（2020秋•魏县月考）如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．

（1）求证：△ADO≌△CBO；

（2）求证：四边形ABCD是菱形；

（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

知识点3：正方形

1.正方形的性质：

（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2.正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；

（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．

【典例】

例1 （2020春•南宁期末）如图，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AF＝BE．

（1）求证：∠BAE＝∠ADF；

（2）若∠BAE＝30°，AF＝2，求OD的长．

【方法总结】

此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出△DAF≌△ABE是解本题的关键．

例2（2020春•嘉定区期末）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE．

（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；

（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．

【方法总结】

本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•江岸区校级月考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（　　）

A． B．4 C． D．

2．（2020春•唐河县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

综合运用

1．（2020春•长清区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB＝12，AD＝8，求△CDE的周长．

2.（2020春•麻城市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC＝6，EF：BF＝2：1，求菱形AEBD的面积．

3．（2020春•金平区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

4. （2020春•沂水县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形ADFE是矩形；

（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．

5.（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．

（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；

（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．