初中数学冀教版八年级上册17.1 等腰三角形教学ppt课件

教学目标

1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；

2.探索并证明等边三角形的性质定理；

3.能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.

教学重难点

重点：探索并证明等腰、等边三角形的性质定理；

难点：能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.

教学过程

旧知回顾

1.回忆在前面学过哪些特殊的三角形？

等腰三角形、等边三角形等.

2.回忆你所知道的等腰三角形、等边三角形有哪些性质？

等腰三角形两腰相等，等边三角形三边相等.

导入新课                           

欣赏图片引入“等腰三角形”：——生活中的“等腰三角形”                          

在这些图片中，你发现了哪个特殊的三角形？

教师引入课题：等腰三角形

探究新知                         

一、认识等腰三角形

1.概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.进一步认识等腰三角形各部分的名称.

在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

二、等腰三角形的性质定理

探究活动：

1.如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．

问题1：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？

等腰三角形是轴对称图形.底边的垂直平分线是它的对称轴.

2.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：

问题2：等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗？

发现1：等腰三角形的两个底角相等.

如何证明两个底角相等呢？

学生分析：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.

思考：如何构造两个全等的三角形？

教师指导，学生讨论，展示成果：

如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.

证明：方法一：作底边上的中线

作底边的中线AD，则BD＝CD.

在△BAD和△CAD中，

AB＝AC  ( 已知 )，

BD＝CD ( 已作 )，

AD＝AD (公共边)，

∴ △BAD≌ △CAD (SSS).

∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等).

方法二：作顶角的平分线

作顶角的平分线AD，则有∠1＝∠2.

在△BAD和△CAD中，

∴ △BAD≌△CAD(SAS)．

∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．

你能用一句话来叙述这个结论吗？

等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．

几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

发现2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合.

思考：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B＝∠C之外，还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现.

解：∵△BAD≌△CAD，

由全等三角形的性质易得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD.

又∵ ∠ADB+∠ADC＝180°，

∴ ∠ADB＝∠ADC＝90° ，

即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高线      .

归纳：等腰三角形的性质定理

性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）.

练习：判断正误：

1.等腰三角形的顶角一定是锐角.

2.等腰三角形的底角可能是锐角、直角或钝角.

3.钝角三角形不可能是等腰三角形.  

4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.

5.等腰三角形的角平分线、中线和高重合.

6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.

学生独立完成，教师评价：

1.×  2.×   3. ×  4.  √   5. ×   6.√

例  已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线.求证：BD＝CE.

证明：∵ BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，

      ∴ ∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝∠ACB.

      ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB(等边对等角)，  

      ∴ ∠ABD＝∠ACE(等量代换).

又∵ ∠A＝∠A(公共角)，

      ∴ △ABD ≌△ACE(ASA).

     ∴ BD＝CE(全等三角形的对应边相等).

三、等边三角形的定义及性质

1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.等边三角形的性质

问题1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？

结论1：等腰三角形的两个底角相等.            等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.

求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.

证明：∵ AB＝AC，

 ∴ ∠B＝∠C(等边对等角) .

同理 ∠A＝∠C.

 ∴ ∠A＝∠B＝∠C.

 ∵ ∠A+∠B+∠C＝180°,

 ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60 °.

问题2： 等腰三角形“三线合一”的性质同样存在于等边三角形中吗?

等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.（一条对称轴）

等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.（三条对称轴）

归纳： 等边三角形的性质：

 等边三角形的三个角都_相等_，并且每一个角都等于_60°.

 等边三角形顶角的__平分线__、底边上的_中线___及底边上的_高__重合(__三线合一__）.

练习：1.如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝25°，

则∠2的大小为(        )

A.25°    B.35°   C.45°   D.55°

2. 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

学生自主完成，教师进行评价.

答案：1.B

2.解：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵ ∠ABE＝40°，

∴ ∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.

∵ BE＝DE，

∴ ∠D＝∠EBC＝20°，

∴ ∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.

课堂练习

1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)

A．65°或50°             B．80°或40°

C．65°或80°             D．50°或80°

2.如图，四边形ABCD是正方形，△PCD是等边三角形，连接BP，则∠BPC等于(        )

A.15°       B.20°     C.25°     D.30°

3.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为(        )

A.180°    B.220°    C.240°     D.300°

4.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________.

5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．

求证：△AEF≌△BEC．

参考答案

1.A　2.A　3.C　4.24°                 

5.证明：∵ △ABD是等边三角形，

∴ ∠DAB＝60°.

∵ ∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，

∴ ∠EBC＝180°-90°-30°＝60°，

∴ ∠FAE＝∠EBC．

∵ E为AB的中点，

∴ AE＝BE．

又∵ ∠AEF＝∠BEC，  

∴ △AEF≌△BEC（ASA）．

课堂小结

1.等腰三角形的性质定理：

性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）.

2.等边三角形的性质定理

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.

布置作业

完成教材143页习题A组、B组.

板书设计

17.1　等腰三角形

第1课时  等腰三角形的性质

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