初中数学冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形17.4 直角三角形全等的判定教学ppt课件

教学目标

1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用；

2.会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形；

3.初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.

教学重难点

重点：探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用；

难点：初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.

教学过程

旧知回顾

1.回忆三角形的判定定理：

SSS(三边对应相等的两个三角形全等).

ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等).

SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等).

AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等).

2.回忆有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等以及原因：两边及一边的对角对应相等不能判定两个三角形全等.原因：这个角的对边可以左右摆动.

导入新课                           

实际生活引入“直角三角形全等的判定”：——舞台设计

 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了量角器和卷尺，他想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.

你能用已学过的数学知识帮他想个办法吗？

实际上根据现有的条件能够判断这两个直角三角形全等吗？本节课我们就学习两个直角三角形全等的判定.板书课题

探究新知                         

一、直角三角形全等的条件

问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？

学生通过观察会发现：这两个直角三角形是全等的，原因是AAS.

问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？

学生通过观察会发现：这两个直角三角形是全等的，原因是ASA或AAS.

问题3：两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

学生通过观察会发现：这两个直角三角形是全等的，原因是SAS.

问题4：两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？如何证明？

教师指点，学生会发现：SSA在一般的三角形中是不能判断两个三角形全等的，那么SSA能够判断两个直角三角形全等吗？答案是肯定的，下面我们就来证明一下.                            

已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，

∠C＝∠ C′＝90°，AB ＝ A′B′ ，

AC＝ A′C′.        

求证：△ABC≌△A′B′C′.     

证明：在△ABC和△A′B′C′中，

 ∵ ∠C＝90°，∠C′＝90°，

 ∴ (勾股定理).

 ∵ AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.

 ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).

直角三角形全等的判定定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等

（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

几何语言：

在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，

AB＝A′B′,

BC＝B′C′,

∴ Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).

点睛：在使用“HL”时,同学们应注意什么?

1.“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.

2. 注意对应相等.

 因为”HL”仅适用于直角三角形.

总结：你能够用哪几种方法说明两个直角三角形全等？

三角形三边对应相等            SSS

一锐角和它的邻边对应相等      ASA

一锐角和它的对边对应相等      AAS

两直角边对应相等              SAS

斜边和一条直角边对应相等       HL

练一练：判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

  （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（         ）

  （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（         ）

  （3）一个锐角和斜边对应相等；       （         ）

  （4）两直角边对应相等；             （         ）

  （5）一条直角边和斜边对应相等．     （         ）

二、利用“HL”判定直角三角形全等

例1  已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.

  已知：如图，线段a，c.

  求作：△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，AB＝c.

教师指导，学生分析：首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB＝c可以确定点A.

作法：

（1）作线段CB＝a.

（2）过点C，作MC⊥CB.

（3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A.

（4）连接AB.

与同桌所作的进行比较,是否重合.

例2 已知：如图(1)，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC＝PD.

求证：点P在∠AOB的平分线上.

（1）                     （2）

证明：如图(2)所示,作射线OP.

∵ PC⊥OA,PD⊥OB，∴ ∠PCO＝∠PDO＝90°.

在Rt△OPC和Rt△OPD中,∵

∴ Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).

∴ ∠POA＝∠POB.∴ OP是∠AOB的平分线,

即点P在∠AOB的平分线上.

思考：这个命题与角平分线的性质定理有什么区别?通过这道题,你能得到怎样的结论?

归纳：角平分线性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

利用直角三角形全等的判定定理证明角平分线性质定理的逆定理,理解知识间的必然联系.

例3 如图所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC＝BD.求证：BC＝AD.

学生通过观察发现：欲证BC＝AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO(O为DB,AC的交点),经过分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.

证明：∵ AC⊥BC,BD⊥AD，∴ ∠C与∠D都是直角.

在Rt△ABC和Rt△BAD中,

∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴ BC＝AD.

练一练：1.如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，以下给出的条件适合的是(        )

A.AC＝AD    B.AB＝AB     C.∠ABC＝∠ABD     D.∠BAC＝∠BAD

2.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列条件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是(        )

A.AB＝A′B′＝5,BC＝B′C′＝3

B.AB＝B′C′＝5,∠A＝∠B′＝40°

C.AC＝A′C′＝5,BC＝B′C′＝3

D.AC＝A′C′＝5,∠A＝∠A′＝40°

答案：1.A　2.B

课堂练习

1.如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为(        )

A．1            B．2            C．3              D．4

图１　　　　　　　　　图２

2.如图２，在△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于点E，DE＝DC,若AC＝6，则AD+DE等于(        )

A.7        B.6         C.5           D.4

3.如图３，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC，有下列结论：

①∠1＝∠2；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等.

其中正确的有______个.

　　　　　　　图３　　　　　　　　图4　　　　　　　　　　图5

4.如图4，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD＝CE.求证：△EBC≌△DCB.

5.如图5，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在线段AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？

参考答案

1.A　2.B　3.4

4.证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC＝∠BDC＝90 °.

在 Rt△EBC和Rt△DCB中，

∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).

5.解：(1)当P运动到AP＝BC时，

∵ ∠C＝∠QAP＝90°.

在Rt△ABC与Rt△QPA中，

∵ AB＝PQ，BC＝AP，

∴ Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，

∴ AP＝BC＝5cm.

(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.

在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵ PQ＝AB，AP＝AC，

∴ Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，

∴ AP＝AC＝10 cm，

∴ 当AP＝5 cm或10 cm时，△ABC才能和△APQ全等．

课堂小结

1.直角三角形全等的条件：

直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形全等的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.

2.注意事项：HL是直角三角形特有的判定方法，注意“直角”这个前提.

布置作业

完成教材第161页习题A组、B组.

板书设计

17.4　直角三角形全等的判定

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