初中数学冀教版八年级上册17.5 反证法教学课件ppt

教学目标

1.理解反证法的概念及证明的步骤；

2.会运用反证法来解决简单的证明题，理解反证法解题的注意事项.

教学重难点

重点：理解反证法的概念及证明的步骤；

难点：会运用反证法来解决简单的证明题，理解反证法解题的注意事项.

教学过程

旧知回顾

1.回忆三角形内角和定理及其推论；

2.回忆平行线的性质定理；

3.回忆定理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”.

导入新课

故事引入“反证法”：——路边苦李

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

如果当时你在场，你会怎么办？

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

王戎推理方法是：

 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维.反证法是数学中常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界.

探究新知

一、反证法的定义及步骤

在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法.

下面我们以第九章中“一个三角形中最多有一个直角”为例，用反证法进行证明.

教师引导学生分析并进行步骤的板演.

已知：如图，△ABC.

求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.

证明：假设△ABC中有两个（或三个）直角，

不妨设∠A＝∠B＝90°.

∵∠A+∠B＝180°，

∴∠A+∠B+∠C>180°.

这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.

因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.

故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.

反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.

通过上面的一个例子，我们能总结出用反证法证明命题的一般步骤吗？

师生总结：反证法的步骤：

1.提出假设：假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.

2.推理论证，得出矛盾：以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或与正确命题相矛盾的结论.

3.肯定结论成立：所以假设不成立，所求证的命题成立.

二、例题讲解

例1   用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角.

求证：∠1＝∠2.

教师引导，学生分析：

先提出假设：∠1 ≠ ∠2；

推出矛盾：可作∠EGN与∠1相等，

从而得到直线MN∥CD，这样过点G就得到

两条直线与CD平行，与“过直线外一点有且只有

一条直线与已知直线平行”矛盾；

肯定结论：∠1＝∠2.

证明：假设∠1≠∠2.

过点G作直线MN，使得∠EGN＝∠1.

∵ ∠EGN＝∠1，

∴ MN∥CD（基本事实）.

又∵ AB∥CD（已知），

  ∴ 过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.

   ∴ ∠1≠∠2的假设是不成立的.

   因此，∠1＝∠2.

例2   用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理

教师指导，小组合作，完成后小组展示（黑板板演）.

已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，

∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.

求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，

即BC≠B′C′.不妨设BC<B′C′.如图，

在B′C′上截取C′D＝CB，连接A′D.

在△ABC和△A′DC′中，∵ AC＝A′C′，∠C＝∠C′，CB＝C′D，

∴ △ABC≌△A′DC′.

∴ AB＝A′D（全等三角形的对应边相等）.

∵ AB＝A′B′（已知），∴ A′B′＝A′D.

∴ ∠B′＝∠A′DB′，∴ ∠A′DB′<90°，

即∠C′<∠A′DB′<90°（三角形的外角大于和它不相邻的内角）.

这与∠C′＝90°相矛盾.

因此，BC≠B′C′不成立.

即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立.

∴ △ABC≌△A′B′C′.

练习：1.写出下列各结论的反面：

（1）a//b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥b.

解：（1）a不平行于b；（2）a<0；（3）b是0或负数；（4）a不垂直于b.

2.利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设(     )

A.直角三角形的两个锐角都小于45°

B.直角三角形有一个锐角大于45°

C.直角三角形的两个锐角都大于45°

D.直角三角形有一个锐角小于45°

教师指导，学生分析：“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”的意思是在直角三角形中，有一个或两个锐角大于或等于45°，因此它的反面是在直角三角形中，没有一个锐角大于或等于45°，即直角三角形中的两个锐角都小于45°，因此选A.

3.用反证法证明：

（1）如果ab＝0,那么a,b中至少有一个等于0.

（2）两条直线相交，有且只有一个交点.

学生独立完成，教师评价.

（1）证明：假设a≠0,且b≠0,则ab≠0,与ab＝0矛盾.

所以假设不成立，所以a＝0或b＝0.

（2）证明：假设直线a与直线b相交没有交点或有两个或两个以上的交点.

若直线a与直线b没有交点，则直线a与直线b平行，与两直线相交矛盾；

若直线a与直线b有两个或两个以上的交点，根据两点确定一条直线，可知直线a与直线b重合，与两条直线相交矛盾.

综上，假设不成立，所以直线a与直线b相交，有且只有一个交点.

 通过练习使学生再次明确用反证法证题的基本思路及步骤.

课堂练习

1.试说出下列命题的反面：

（1）a是实数； 　　　　 （2）a大于2；　　　　（3）a小于2；

（4）至少有2个； 　　　（5）最多有一个；      （6）两条直线平行；

2.用反证法证明“若a2＝ b2,则a ≠ b”的第一步是_　　__.

3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是______.　

4.用反证法证明（填空）：

在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°.

已知：如图， ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.

求证： ∠A，∠B，∠C中至少有一个角不小于60°.

证明：假设所求证的结论不成立，即

∠Ａ＿＿60°，∠B＿＿60°，∠C＿＿60°，

则∠Ａ+B+C＜1 80°，

这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾，所以假设＿＿＿＿＿＿，

所以，所求证的结论成立．

5.已知：a是整数，2能整除.求证：2能整除a.

学生独立完成，教师评价；

参考答案

1.（1）a不是实数；（2）a小于或等于2；（3）a大于或等于2；

（4）一个或没有（至多一个）；（5）至少两个；（6）两直线相交.

2.假设a＝b

3.假设这个三角形是等腰三角形

4.＜ ＜ ＜ 三角形的内角和等于180°  不成立

5.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数.

不妨设a＝2n+1(n是整数),∴＝

∴ 是奇数，则2不能整除 ，这与已知矛盾.∴ 假设不成立，故2能整除a.

课堂小结

1.反证法

在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法；

2.反证法的证明步骤：

（1）否定结论；（2）推出矛盾；（3）肯定结论.

布置作业

完成教材第164页习题.

板书设计

17.5　反证法

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