人教版数学八上11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（课件+教案+学案+练习）

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11.1.2　三角形的高、中线与角平分线教学目标1.通过观察、画、折、交流等实践操作过程，认识三角形的高、中线、角平分线；会画出任意三角形的高、中线、角平分线；通过画图、折纸了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线会交于一点.2.在画、折等实践操作活动过程中，发展和培养学生的空间观念、推理能力及创新精神，提高用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.教学重点难点重点：1.三条重要线段概念的理解.2.探索三条重要线段分别交于一点，明确交点的位置.3.利用“三线”的性质进行简单地推理证明.难点：1.“三线”画法，特别是钝角三角形高线的画法.2.“三线”性质的应用.教学过程导入新课多媒体出示：如图1所示，在△ABC中，有一条红色线条，一端在顶点A处，另一端从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线（AE，AF，AD，…）中，有没有特殊位置的线条？你认为有哪些特殊位置？师生活动教师引导学生归纳.①在这些线中，有一条线垂直于边BC.②有一条线的一个端点是BC的中点.③还有一条线平分∠BAC.图1学生通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线条：三角形的高、中线和角平分线.这三条线段是三角形的重要线段.这节课我们就来学习三角形的高、中线与角平分线（出示课题）.探究新知1.三角形的高教师：在黑板上给出一个△ABC，请学生回忆怎样作出△ABC的高.教师提问：（1）你用什么工具作出三角形的高？（2）三角形有几条高？（3）你能用折纸的方法作出三角形的高吗？（4）用折纸的方法折出的高与你用三角尺画出的高一致吗？（5）你发现三角形的三条高有何特点？学生活动学生利用已准备好的其中一个三角形纸片，边折纸边思考以上问题.引导学生在动手操作的同时进行归纳：（1）高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.三角形的高有三条，三条高的交点在什么位置？学生活动找三名学生板演，其余学生动手画出三种三角形的三条高.如图2所示.           　 　　      　　　    　①　   　      　  ②　                     　③图2教师和学生一起归纳：①锐角三角形三条高的交点在三角形内部；②钝角三角形三条高的延长线的交点在三角形外部；③直角三角形三条高的交点在直角顶点上.直角三角形的两直角边也是三角形的两条高线.注意：三角形的高是线段.（2）高的应用：由定义可知：若AD是△ABC的高，则AD⊥BC.2.三角形的中线教师提出问题：（1）图1中的点D是不是BC的中点？（2）什么是线段的中点呢？你有什么方法得到线段的中点呢？如何定义三角形的中线呢？（3）三角形有几条中线？（4）你发现三角形的三条中线有何特点？学生活动动手画、折三角形的中线，观察、猜想、验证，学生小组交流讨论.  　　①　　      　　　　　②图3在刚才折纸的基础上，教师引导学生归纳：（1）中线的定义：连接三角形的一个顶点和它的对边中点，顶点和中点之间的线段叫做三角形的中线，如图3①.（2）三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，如图3②所示.（3）中线的应用：由定义可知：若AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD＝CD＝BC，如图3①所示.3.三角形的角平分线在黑板上画一个△ABC，问学生如何画一个角的平分线，比如画∠A的平分线？并提问：（1）三角形有几条角平分线？（2）你发现三角形的三条角平分线有何特点？学生活动动手画、折三角形的角平分线，观察、猜想、验证，学生小组交流讨论.　　　图4　　　　　　　　　图5在刚才折纸的基础上，教师引导学生归纳：（1）角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（如图4）.（2）三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部（如图5）.（3）角平分线的应用：∵ BE是△ABC的角平分线，∴ ∠ABE＝∠CBE＝∠ABC.∵ CF是△ABC的角平分线，∴ ∠ACB＝2∠ACF＝2∠BCF.交流与讨论：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？学生活动学生讨论后派代表回答：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.【注意】1.三角形的高、中线、角平分线都是线段.注意与线段的高线、中线，角的平分线的区别.2.三角形的高、中线、角平分线各有三条，在叙述这“三线”时，语言描述要严谨，要明确高、中线是哪边上的，角平分线是哪个角的平分线.新知应用例1　（1）如图6，CD，BE是△ABC的角平分线，它们相交于点I，则①∠ACD＝　　　　＝　　　 ∠ACB，∠ABC＝　　　　∠ABE.②若∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝　　　　.③画出△ABC的第三条角平分线. 　　　　图6　　　    　　　　　图7（2）如图7，①若AD是△ABC的中线，则BD＝　　　　＝ 　　　　BC，BC＝　　　　BD.②若BD＝CD，则AD是△ABC的　　　　.③若AD是△ABC的中线，则△ABD的面积与△ADC的面积有什么关系？师生活动学生先独立思考，然后同桌进行交流，教师巡视指导.解：（1）①∠BCD　　2；②110°；③提示：连接AI，并延长交BC于点F，则AF就是第三条角平分线.（2）①CD　　2；②中线；③相等.例2　在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，求AC的长.解：∵ AD为BC边的中线，∴ BD＝CD，∴ △ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）＝AB-AC.又∵ △ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，∴ 8- AC＝3，解得AC＝5.例3　如图8所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数.解：∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴ ∠DAC＝∠BAD＝30°.∵ CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴ ∠B＝50°.∴ ∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝180°-50°-30°＝100°.图8 课堂小结三角形的重要线段概念图形几何语言三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段∵ AD是△ABC的边BC上的高，∴ AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段∵ AD是△ABC的边BC上的中线，∴ BD＝CD＝BC三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段∵ AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴ ∠1＝∠2＝∠BAC      布置作业教材第8页习题必做：第3，4题，选做：第8题. 板书设计11.1.2　三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高（1）定义：（2）应用：2.三角形的中线（1）定义：（2）应用：3.三角形的角平分线（1）定义：（2）应用：（3）三角形角平分线与角的平分线的区别：例2　在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，求AC的长.例3　如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数.