数学九年级下册2 二次函数的图像与性质练习

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第10讲 函数的图象及其性质

知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（　　）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=

2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______

3.下列关系中，是二次函数关系的是（　　）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系

【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．下列函数关系中，是二次函数的是　　
A．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系
C．等边三角形的周长与边长之间的关系
D．半圆面积与半径之间的关系


2．（2018秋•嘉兴期末）下列函数中，属于二次函数的是　　
A． B． C． D．

3．（2018秋•昭平县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是　　
A． B． C． D．

4．（2018秋•江干区期末）下列函数是二次函数的是　　
A． B． C． D．

5．（2018秋•桐城市期末）下列函数中，关于的二次函数的是　　
A． B． C． D．


6．（2019•嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是　　
A． B． C． D．

知识点2二次函数图象与基本性质
1.

2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______

2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（　　）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）

【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•安徽一模）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过　　

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

2．（2019•中山市模拟）函数与的图象可能是　　
A． B．
C． D．

3．（2019•李沧区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为　　
A． B．
C． D．

4．（2019•东兰县三模）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是　　

A．函数有最小值 B．当时，
C． D．当，随的增大而减小

5．（2019•广水市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是　　
A． B．
C． D．

二．填空题（共3小题）
6．（2019•武侯区校级模拟）点为二次函数图象上一点，其对称轴为，则点关于的对称点的坐标为　　．

7．（2019•越秀区校级一模）抛物线过点，且，则抛物线的对称轴是　　．

8．（2019•杨浦区模拟）若点，是抛物线上的两个点，则此抛物线的对称轴是　　．

三．解答题（共2小题）
9．（2019•西湖区一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，顶点为．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，判断是否成立？并说明理由．

10．（2019•雷州市一模）已知抛物线．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．


知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a0；负半轴上则c