北师大版八年级下册3 三角形的中位线课后作业题

第13讲  中位线定理

知识点1：三角形的中位线

1.三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形共有三条中位线．

2.三角形中位线的性质：

（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）三角形的中位线将三角形分成两部分的面积之比为1:3．

3.三角形中位线逆定理：

（1）在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线．

（2）在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．　

【典例】

例1（2020春•和平区校级月考）一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形．

【方法总结】

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

例2 （2020春•工业园区校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．

【方法总结】

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•扶风县期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF．

求证：BF＝DC．

2．（2020春•太仓市期中）苏科版数学八年级下册86页我们学了这样一条定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，请你对这个定理给予证明．

已知：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，连接DE．

求证：DE∥BC，DEBC．

知识点2：中点四边形

不同的四边形的中点四边形如下：

（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形；

（2）平行四边形的中点四边形是平行四边形；

（3）菱形的中点四边形是矩形；

（4）矩形的中点四边形是菱形；

（5）正方形的中点四边形是正方形；

【典例】

例1（2020秋•肇源县期末）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH．求证：四边形EFGH是平行四边形．

【方法总结】

本题考查的是平行四边形的判定定理、三角形中位线定理，掌握对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．

例2 （2020春•高淳区期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC内，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，则四边形EFHG的面积为________．

【方法总结】

本题考查的是中点四边形，掌握矩形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键．

例3 （2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，依次连接AO，BO，CO，DO的中点E，F，C，H，得到四边形EFGH，点M是EF的中点，连接OM，若AB＝10，则OM的长为________．

【方法总结】

本题考查的是菱形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•九江期末）如图，依次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，得到的新四边形EFGH是什么四边形？请证明．

2．（2020春•塔河县校级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

3．（2020春•秦淮区期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．

知识点3： 多边形的内角和

多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180° （n≥3），且n为整数）

正多边形的每个内角等于.

【典例】

例1（2020秋•大冶市期末）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【方法总结】

本题考查了多边形内角和定理，能熟．记多边形内角和公式是解此题的关键

例2 （2020•丰台区模拟）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．10

【方法总结】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

【随堂练习】

1．（2020秋•黄冈期末）一个多边形的内角和为540°，则它是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．不是五边形

2．（2020秋•荔湾区校级月考）如果一个n边形的内角和是2520°，那么n的值为（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

知识点4： 多边形的外角、外角和

多边形的外角和等于360°．

正多边形的每个外角等于.

【典例】

  例1（2020秋•乾安县期末）一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形的边数为________．

【方法总结】

本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，依据题意列出方程是解题的关键．

  例2 （2020秋•青秀区校级期中）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．

（1）求这个正多边形一个内角的度数；

（2）求这个正多边形的内角和．

【方法总结】

本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和定理：内角和公式：（n﹣2）•180° （n≥3，且n为整数）；外角和定理：多边形的外角和等于360度．

【随堂练习】

1．（2020秋•临河区期末）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？这个多边形的内角和是多少度？

2．（2020秋•大安市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？

综合运用　　

1．（2020秋•盘龙区期末）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝_______．

2．（2020秋•九龙坡区校级期中）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝_______．

3．（2020秋•固始县期中）小刚从点A出发，前进10米后向右转60°，再前进10米后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，他能回到A点吗？当他第一次回到A点，他走了多少米？

4．（2020秋•郁南县校级月考）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．

5．（2020•浙江自主招生）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC中点，延长BA、FE交于M，延长FE，CD交于N．求证：∠AME＝∠N．

6．（2020春•白云区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）；

（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．

7．（2020•丹江口市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，SABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_______．

8．（2020春•青云谱区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．

（1）求证：AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．

9．（2020春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．