初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程达标测试

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第10讲 一元一次方程的应用二 知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题 1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。公式为：①工作量=工作效率×工作时间，②，③。2、工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。3、常用列式依据：“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1”，有些工程问题也可以分阶段“第一阶段工作量+第二阶段工作量=1”。【典例】1.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天，若甲、丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的工作，如果要求这个工程6天完成，问此工程是否能按期完成？ 【解析】解：由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，设乙、丙还需天完成这项工程，根据题意得：解得：∵共需时间为天>6天∴不能按期完成答：此工程不能按期完成。【方法总结】1、本题可以分两个阶段：第一阶段“甲、丙合做3天”，第二阶段“乙、丙合做天”，可得“甲、丙合做3天”的工作量+“乙、丙合做天”的工作量=工作总量2、对于问是否能按时完成任务的问题，先求实际完成任务的时间，再与规定时间做比较，得出是否能按时完成 2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需多少天？【解析】解：由题意甲的工作效率为，设乙的工作效率为，则有解得乙的工作效率为则还需天所以完成这项工作共需4+5=9天【方法总结】1、分析表格，找出有用信息，求出甲、乙的工作效率是解本题的关键：由甲做3天，完成工作进度的，可求出甲的工作效率为；由第三天到第五天，甲乙合作两天时间，完成工作进度的，列式可求乙的工作效率为。2、此题是典型的工程问题，需要分段分析，分清每段的情况【随堂练习】1．（2018春•辉县市期末）一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作．（1）求甲、乙合作多少天才能把该工程完成．（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元．【解答】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成，根据题意得：×4+（+）x=1，解得：x=20．答：甲、乙合作20天才能把该工程完成．（2）甲队的费用为2500×（20+4）=60000（元），乙队的费用为3000×20=60000（元），60000+60000=120000（元）．答：完成此项工程需付给甲、乙两队共120000元．　2．（2017秋•崆峒区期末）某工作甲单独做需15h完成，乙单独做需12h完成，若甲先单独做1小时，之后乙再单独做4h，剩下的工作由甲、乙两人一起做．问：再做几小时可以完成全部工作？【解答】解：设再做x小时可以完成全部工作，根据题意得：+=1，解得：x=4．答：再做4小时可以完成全部工作．　3．（2017秋•河西区期末）整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同．（1）若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？（2）计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？【解答】解：（1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得：，解得：x=3．答：再需增加3人帮忙才能在规定的时间内完成；（2）设应该安排x人先工作，可得：，解得：x=6．答：应该安排6人先工作． 知识点2  一元一次方程的实际问题-利润问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。（1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．【典例】1.东方食品厂2013年的利润（总产值-总支出）为200万元，2014年总产值比2013年增加了20%，总支出减少了10%．2014年的利润为780万元．问2013年总产值、总支出各是多少万元？【解析】解：设2013年的总产值为万元，则2013年的总支出为万元，由题意得： 解得则2013年的总支出：答：2013年的总产值为2000万元，总支出为1800万元． 【方法总结】1、本题由“总产值﹣总支出=利润”可得2013年总产值和总支出的关系，从而设未知数。2、然后根据：2013年总产值×（1+20%）-2003年总支出×（1﹣10%）=780列方程。 2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是____【解析】解：设甲种商品的原售价为元，则乙种商品的原售价为元，依题意得：解得x=210则甲种商品的原售价为210元，则乙种商品的原售价为280元。所以甲种商品的进价是元，乙种商品的进价为元【方法总结】题目中“两种商品原售价之和为490元”和“甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元”都是关于“原售价”的关系，所以这里我们设“原售价”为未知量比设“进价”更好列方程. 3. 某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营______【解析】解：（1）设赚了15%的衣服的进价是元，则：解得：x=1700进价是1700元．（2）设赔了15%的衣服的进价是元，则，解得：y=2300则：进价是2300元，利润=总售价-总成本=1955×2-（1700+2300）=-90元所以赔了90元．【方法总结】该题可以分别算出两件衣服的利润，求利润之和，或者用两件衣服的总售价减去总成本求出总利润。【随堂练习】1．（2017秋•梁子湖区期末）某商店换季准备打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为（　　）A．230元 B．250元 C．270元 D．300元【解答】解：设该商品的售价为x元，由题意得，0.75x+25=0.9x﹣20，解得：x=300，则成本价为：300×0.75+25=250（元）．故选：B．　2．（2017秋•溧水区期末）如图，某商品实施促销“第二件半价”，若购买2件该商品，则相当于这2件商品共打了（　　）折．A．5 B．5.5 C．7 D．7.5【解答】解：设一件商品原价为a元，买2件商品共打了x折，根据题意可得：a+0.5a=2a•，解得：x=7.5，即相当于这2件商品共打了7.5折．故选：D．　3．（2017秋•密山市期末）某商品每件标价为200元，若按标价打八折后，再降价20元销售，仍获利40%，则该商品每件的进价为____元．【解答】解：设该商品每件的进价为x元，则200×80%﹣20﹣x=x×40%，解得 x=100．即该商品每件的进价为100元．故答案是：100． 4．（2017秋•双城市期末）现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？【解答】（1）解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得300+0.8x=x，解得x=1500，所以，当顾客消费少于1500元时不买卡合算；当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算； （2）小张买卡合算，3500﹣（300+3500×0.8）=400，所以，小张能节省400元钱； （3）设进价为y元，根据题意，得（300+3500×0.8）﹣y=25%y，解得  y=2480答：这台冰箱的进价是2480元． 知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题设而不求（设中间参数）的问题一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。 【典例】1.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？【解析】解：设每小时雨水增加量为a，每台水泵每小时的排水量为b，则根据积水量相同得设用三台水泵需要小时将积水排尽，由题意得．答：用三台水泵需要小时将积水排尽．【方法总结】1、得到每小时雨水增加量为和每台水泵每小时的排水量的关系式是解决本题的突破点2、设小时可排完积水，等量关系为：3台水泵小时的工作量﹣小时的积水量=1台水泵10小时的工作量-10小时的积水量【随堂练习】1．（2017秋•利川市期末）甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米．甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时．（1）乙队追上甲队需要多长时间？（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？【解答】解：（1）设乙队追上甲队需要x小时，根据题意得：6x=4（x+1），解得：x=2．答：乙队追上甲队需要2小时．（2）设联络员追上甲队需要y小时，10y=4（y+1），∴y=，设联络员从甲队返回乙队需要a小时，6（+a）+10a=×10，∴a=，∴联络员跑步的总路程为10（+）=答：他跑步的总路程是千米．（3）要分三种情况讨论：设t小时两队间间隔的路程为1千米，则①当甲队出发不到1h，乙队还未出发时，甲队与乙队相距1km．由题意得4t=1，解得t=0.25．②当甲队出发1小时后，相遇前与乙队相距1千米，由题意得：6（t﹣1）﹣4（t﹣1）=4×1﹣1，解得：t=2.5．③当甲队出发1小时后，相遇后与乙队相距1千米，由题意得：6（t﹣1）﹣4（t﹣1）═4×1+1，解得：t=3.5．答：0.25小时或2.5小时或3.5小时两队间间隔的路程为1千米．　2．（2017秋•溧水区期末）某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？根据题意，小明、小红分别列出了尚不完整的方程如下：小明：5x□（　　）=4x□（　　）；   小红：．（1）根据小明、小红所列的方程，其中“□”中是运算符号，“（　　）”中是数字，请你分别指出未知数x、y表示的意义．小明所列的方程中x表示　该小组的人数　，小红所列的方程中y表示　计划做的“中国结”个数　；（2）请选择小明、小红中任意一种方法，完整的解答该题目．【解答】解：（1）小明所列的方程中x表示：该小组的人数；小红所列的方程中y表示：计划做的“中国结”个数．故答案为：该小组的人数；计划做的“中国结”个数．（2）选择小明：设该小组共有x个人，根据题意得：5x﹣9=4x+15，解得：x=24，∴5x﹣9=111．答：该小组共有24人，计划做111个“中国结”．选择小红：设计划做y个“中国结”，根据题意得：=，解得：y=111，经检验，y=111是原方程的解，且符合题意，∴==24．答：该小组共有24人，计划做111个“中国结”．　3．（2017秋•宜春期末）某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同．甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠．乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 不超过50的部分 50以上但不超过150的部分 150以上的部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75%表格说明：批发价分段计算：如：某人批发200千克的苹果；则总费用=50×8×95%+100×8×85%+50×8×75%．（1）如果他批发240千克苹果选择哪家批发更优惠；（2）设他批发x千克苹果（x＞100），当x取何值时选择两家批发所花费用一样多．【解答】解：（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元），在乙家批发所需费用为：50×8×95%+（150﹣50）×8×85%+（240﹣150）×8×75%=1600（元）．∵1632＞1600，在乙家批发更优惠．（2）当100＜x≤150时，在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，在乙家批发所需费用为：50×8×95%+（x﹣50）×8×85%=6.8x+40．不可能相等；当x＞150时，在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，在乙家批发所需费用为：50×8×95%+（150﹣50）×8×85%+（x﹣150）×8×75%=6x+160．∵6.8x=6x+160，∴x=200．综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多．  综合运用1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?【解析】设有支钢笔打9折，则有支钢笔是原价出售，可得：  解得：答：打9折的钢笔有20支. 2.某商场按每台3500元新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价（就是价格牌上标出的价格），此商场为了促销，又对该电脑打折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台打多少折出售？【解析】解：设该型号电脑每台打折销售．由题意得：，解得：x=8，答：该型号电脑每台打八折销售． 3.某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配的机床总台数.【解析】解：设这次任务需装配的机床总数为台，则，∴解得：x=162，答：这次任务需装配的机床总数为162台4.某商店同时卖出两套西服，售出价均为1680元/套，以成本计算，其中一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此时商店盈利了还是亏损了？【解析】解：设盈利20%的进价是x元，则（1+20%）x=1680，x=1400；设亏损20%的进价是y元，则有（1﹣20%）y=1680，y=2100．则进价和是1400+2100=3500元，售价和是1680×2=3360元，3500﹣3360=140元．即亏损140元．答：商店亏损了140元。 5. 某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？【解析】解：（1）设共需分钟才能印完，列方程得：，解得x=36答：两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完。（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要分钟才能印完，则有，解得y=15则y=15＞13，答：会影响学校按时发卷考试；（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了分钟印完试卷，解得z=2.4则有9+2.4=11.4分钟＜13分钟．答：学校可以按时发卷考试．