人教版初二数学上册（秋季班）讲义 第1讲 三角形--提高班

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第1讲 三角形 知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。【随堂练习】1．（2018秋•万州区期末）在下列各组线段中，不能组成三角形的是　　A．6、6、6 B．3、7、5 C．4、5、6 D．3、2、52．（2019春•潍城区期末）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米那么，间的距离不可能是　　A．5米 B．8.7米 C．27米 D．18米3．（2019•扬州）已知是正整数，若一个三角形的3边长分别是、、，则满足条件的的值有　　A．4个 B．5个 C．6个 D．7个4．（2019春•丰泽区期末）一个三角形的两边分别是2和7，则它的第三边可能是　　A．3 B．4 C．5 D．65．（2019春•常州期中）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为　　A．9 B．4 C．5 D．136．（2019春•兴化市期中）现有两根小木棒，它们的长度分别为和，若要钉成一个三角形架，下列长度不可以作为第三根木棒长度的是为　　A． B． C． D．7．（2019•鄞州区一模）三角形的两边长分别是4，7，则第三边长不可能是　　A．4 B．6 C．10 D．12二．解答题（共1小题）8．（2019春•玄武区期末）若一个三角形的三边长分别是，，，其中和满足方程，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
知识点2 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。【典例】1.如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若的面积是14，求△ABC的面积？【方法总结】本题已知：A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，所以我们连接AB1，BC1，CA1，使A1B、B1C、C1A成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC面积的关系。  知识点3三角形的高线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 2、三角形的面积：（1）三角形的面积：底与高乘积的一半（2）等底等高的两个三角形面积相等（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比【典例】1.如图，△ABC中，AB=AC，CG⊥AB于G，P为线段BC上的一动点，PK⊥AB于K，PM⊥AC于M，探究线段PK、PM与CG之间的数量关系．【方法总结】　 本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：连接AP，可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积，根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系．  知识点4 三角形的角平分线1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。【典例】1.已知△ABC，如图，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别在三角形的角平分线上，则∠D、∠A的关系为_______【方法总结】角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角之间的关系。此题可记住结论：当BD、CD是三角形ABC的角平分线时，【随堂练习】1．（2019春•德惠市期末）在数学课上，同学们在练习画边上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是　　A． B． C． D．2．（2019春•道外区期末）如图，中，是钝角，、、，　　A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．、是的高3．（2019春•平昌县期末）下列说法中错误的是　　A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部 B．三角形三条中线都在三角形的内部 C．三角形三条角平行线都在三角形的内部 D．三角形三条高都在三角形的内部4．（2019春•渠县期末）下面作三角形最长边上的高正确的是　　A． B． C． D．5．（2019•路南区一模）如图，已知为直线外一点，点、、、在直线上，且，下列说法正确的是　　A．线段的长是点到直线的距离 B．线段可能是的高 C．线段可能是的高 D．线段可能是的高6．（2019春•乐亭县期末）如图，中的边上的高是　　A． B． C． D．7．（2019春•滦南县期末）三条高的交点一定在三角形内部的是　　A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．纯角三角形 知识点5 三角形的内角和定理 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°【典例】1.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，∠DAE=∠BAC，求∠BAC的度数.【方法总结】题目中没有给出角的度数，但是给了角度之间的关系，可以设未知数，用未知数来表示三角形中的角，利用三角形内角和为180°建立等量关系，求得未知数和所要求的角。【随堂练习】1．（2019春•丰泽区期末）如图1，线段、相交于点，连接、．（1）请说明：；（2）点在上，点在上，与相交于点，且．，其中为大于1的自然数（如图．①当时，试探索与、之间的数量关系，并请说明理由；②对于大于1的任意自然数，与、之间存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由．2．（2019春•句容市期中）（1）如图1所示，中，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点；①若则　　；②若，求的度数（用表示）；（2）如图2所示，若点是延长线上任意一动点，连接，与的角平分线交于点，随着点的运动，的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．3．（2019春•镇江期末）如图，在中，，，，平分，求的度数．4．（2019春•乐亭县期末）如图，、、分别在的三条边上，，．（1）试说明：；（2）若，平分，求的度数．5．（2019春•南江县期末）如图，在中，，，平分交于，，交于，是的高．求的度数．6．（2019春•东台市校级月考）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，．（1）求的度数；（2）试写出与、之间的数量关系（不必说明理由）．7．（2019春•常熟市月考）如图，是的高，是的内角平分线，、相交于点，已知，求的度数．8．（2019春•平昌县期末）求证：三角形三个内角的和等于． 知识点6 三角形的外角性质 1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．2、三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3、燕尾形结论：【典例】1.已知△ABC，若D点是△ABC外一点，位置如图所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，则∠D、∠A的关系为________【方法总结】本题要求∠D与∠A的关系，可以从两个三角形的外角入手，由三角形外角性质可得：∠ACE=∠A+∠ABC①，∠DCE=∠D+∠DBE②，由①-2×②，可得如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．    【方法总结】本题求七角形各角的度数和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把这七个角凑到一个三角形里，再根据三角形的内角和等于180°求解【随堂练习】1．（2019春•新华区期末）如图，在中，，是内角的平分线，是外角的平分线，是外角的平分线，以下结论不正确的是　　A． B． C． D．平分2．（2019春•侯马市期末）一次数学活动课上，小聪将一副含角的三角板的一条直角边和角的三角板的一条直角边重叠，则的度数为　　A． B． C． D．3．（2019春•溧水区期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线．如果，，则　　A． B． C． D．4．（2019春•镇江期末）在，，与的外角度数如图所示，则的值是　　A．80 B．70 C．65 D．605．（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为　　A． B． C． D．6．（2019春•徐州期中）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中正确的结论有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2019春•兴化市期中）下列说法中，正确的个数为　　①三角形的高、中线、角平分线都是线段②三角形的外角大于任意一个内角③中，，则是直角三角形④若、、均大于0，且满足，则长为、、的三条线段一定能组成三角形A．1 B．2 C．3 D．4二．解答题（共1小题）8．（2019春•桥西区期末）回答下列问题：（1）如图1，在中，，，，分别为和的角平分线，则　　；（2）如图2，在中，，，，求出的度数；（3）在中，，若，分别为两个外角和的三等分线，请直接写出的度数． 综合运用1.如图，有一块三角形试验地，现引进四种良种进行比较实验，要将这块地分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案．  2.如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长度.3.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC=8cm2，求△CEF的面积． 4.已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°5. 如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数.6. 如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC,求∠4的度数．7. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠A=76°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．