初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形同步达标检测题

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第2讲 全等三角形

知识点1 全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
【典例】
1.如图，已知AB=AC，EC=FB，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△BCE△CBF；②△ABE△ACF；③△BDF△CDE；④D在∠BAC的平分线上．其中正确的是_____

【答案】①②③④
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ECB=∠FBC，
在△BCE与△CBF中
，
∴△BCE△CBF（SAS），
故①正确，
如图，连接AD；

∵AB=AC，EC=FB，
∴AE=AF
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE△ACF（SAS）
故②正确;
∴∠ABC=∠ACB；
∵AB=AC，AE=AF，
∴BF=CE；
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE△BDF（AAS），
故③正确，；
∴DC=DB；
在△ADC与△ADB中，
，
∴△ADC△ADB（SAS），
∴∠CAD=∠BAD
∴D在∠BAC的平分线上
故④正确；
综上所述，①②③④均正确，
【方法总结】
这道题中，证明△ABE△ACF，就可以得到∠ABC=∠ACB；再证明△CDE△BDF、△ADC△ADB，得到∠CAD=∠BAD，即可解决问题. 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质定理，这是灵活运用解题的基础．
2.如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（　　）

A.大于EF B.小于EF C.等于EF D.与EF的大小关系无法确定
【答案】A.
【解析】解：延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG，
∵BD=CD，∠BDE=∠CDG，ED=DG
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，
∵FD=FD，∠FDE=∠FDG，DG=ED，
∴Rt△FDE≌Rt△FDG，
∴EF=FG
在△FCG中，CF+CG＞FG，
∴BE+CF＞EF．
故选：A

【方法总结】
求证BE，CF，EF之间的关系，应利用全等，把它们整理到一个三角形中进行讨论．本题考查了全等三角形的判定及性质；出现中线问题暂时无法解决时，可延长成原来的2倍，利用SAS来构造全等三角形，这是一种很重要的解题方法，注意掌握．（在下节课中，我们会重点讲解这种方法）
3. 如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】
【解析】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
即，
解得；

②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
即，
解得；
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．
【方法总结】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用，对于（1），可以利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；对于（2），由△ACP与△BPQ全等，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可.
【随堂练习】
1．（2019春•岐山县期末）如图，是的高，，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】证明：，



，，


故选：．
2．（2019春•兰陵县期中）如图，点是的边上一点，点在上，是的中点，且，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①是的中点，，
，故①正确；
②在上，不一定是的中点，，
无法证明，故②错误；
③无法证明，故③错误；
④是的中点，
，
，
，故④正确．
故其中正确的结论有①④，共两个．
故选：．
3．（2019春•桂林期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是　　

A．7 B．5 C．3 D．2
【解答】解：于点，于点，
，
在与中，
，
，，
，
故选：．
4．（2019•临沂）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是　　

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【解答】解：，
，，
在和中，
，
，
，
．
故选：．
5．（2019春•市中区期末）如图，，，，且平分，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是　　

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：，且
且

四边形是平行四边形．
答案①正确；
而
答案②正确；
又，
且，

答案④正确；
，

答案③正确．
故选：．
6．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，，点为、的中点，，，则长为　　

A．1.5 B．2 C．3 D．5.5
【解答】解：，，
，
，
设，则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
二．解答题（共2小题）
7．（2019春•青羊区期末）如图所示，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）若，，，求．

【解答】解：（1）证明：是边的中点，
．
又，
，，
在与中，
，，，
．
（2），是边的中点，
，
，
，
，
，
．
8．（2019春•胶州市期末）如图，点，在上，，，，试判断与有怎样的数量和位置关系，并说明理由．

【解答】解：，；理由如下：
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
．

知识点2 角平分线与全等三角形
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，

【典例】
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点， 且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．

【解析】证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DM=DN，
∵∠AED+∠AFD=180°，
∠DFN+∠AFD=180°（平角定义），
∴∠AED=∠DFN，
在△DEM和△DFN中，，
∴△DEM≌△DFN（AAS），
∴DE=DF．

【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
对于这道题，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再求出∠AED=∠DFN，然后利用“角角边”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF．
【随堂练习】
1．（2019春•赫山区期末）如图，为的平分线，于，，，则点到射线的距离为　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，过作于，
为的平分线，，
，
，，
，
，
故选：．

2．（2019春•和平区期末）如图，中，，，是的角平分线，于点，于点，若，则的长为　　

A．3 B． C． D．
【解答】解：作于，
是的角平分线，，，
，
的面积的面积的面积，
，
解得，，
故选：．

3．（2019春•长清区期末）如图，在中，，平分，若，则点到的距离是　　

A．4 B．3 C．2 D．5
【解答】解：如图，作于．

，平分交于点，
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
，
，即点到的距离是4．
故选：．
4．（2019春•罗湖区期末）如图，在三角形中，，平分交于点，且，，则点到的距离为　　

A．4 B．3 C．2 D．
【解答】解：作于，
，，
，
平分，，，
，即点到的距离为，
故选：．

5．（2019春•楚雄州期末）如图，在中，于点，平分，交于点，若，，则等于　　

A．10 B．7 C．5 D．4
【解答】解：作于，
，
，即，
解得，，
平分，，，
，
故选：．

6．（2019春•光明区期末）如图，在中，，平分，交于，若，点到的距离为4，则的长是　　

A．4 B．8 C．12 D．16
【解答】解：如图，过作于，
，
，
平分，
，
到的距离等于4，
，
又，
，
，
故选：．

7．（2019•陕西）如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为　　

A． B． C． D．3
【解答】解：过点作于如图所示，
为的平分线，且于，于，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：．

二．填空题（共1小题）
8．（2019春•昌图县期末）如图，平分，于点，，，则的面积为　14　．

【解答】解：作交的延长线于，
平分，，，
，
的面积，
故答案为：14．


综合运用
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD；（　　）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A.
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴∠AEB=180°﹣（∠BAE+∠ABE）=180°﹣90°=90°，
故③小题正确；
延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE与△FBE中，，
∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AB=BF，AE=FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠F，
在△ADE与△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∴AB=BC+CF=BC+AD，故①小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE=DE，即点E为CD的中点，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCD=S△ABF，
∵S△ABE=S△ABF，
∴S△ABE=S四边形ABCD，故④小题正确；
综上所述，不正确的有0个．故选：A

2. 如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A，D重合，记PB+PC=a，AB+AC=b，则a，b的大小关系是（　　）

A.a＞b B.a=b C.a＜b D.不能确定
【答案】A.
【解析】解：如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP．
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，
在△ACP和△AEP中，

∴△ACP≌△AEP（SAS）
∴PC=PE，
在△BPE中，PB+PE＞BE，
而BE=AB+AE=AB+AC，
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC，
∵PB+PC=a，AB+AC=b，
∴a＞b．故选：A

3. 如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则这个五边形ABCDE的面积是

【答案】4
【解析】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，

在△ACD与△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2וDF•AE=2××2×2=4．
故答案为4．

4. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．

【解析】解：（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．

5.如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

【解析】解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，
∠AB′E=∠B=∠D=90°，
∴B′E∥DC；
（2）∵折叠，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠AEB′=∠AEB，
即∠AEB=∠BEB′，
∵B′E∥DC，
∴∠BEB′=∠C=130°，
∴∠AEB=∠BEB′=65°．

6.【探究】如图①，在△ABC中，O是BC边中点，连结AO并延长，使DO=AO，连结CD．求证：AB∥CD．
【应用】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，O是BC的中点，连结AO并延长交DC的延长线于点E，若AE平分∠BAD，求证：AD=CD+AB．

【解析】解：【探究】如图①，∵O是BC边中点，
∴BO=CO．
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS）．
∴∠BAO=∠D．
∴AB∥CD．
【应用】如图②，∵O是BC边中点，
∴BO=CO．
∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠E．
在△AOB与△EOC中，
．

∴△AOB≌△EOC（AAS）．
∴EC=AB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAO=∠DAE．
∴∠E=∠DAE．
∴AD=DE．
∵DE=DC+CE，
∴AD=CD+AB．



7.在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB=8，AC=14，求NC的长．

【解析】解：
（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2．
∵CE∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠3．
∴∠E=∠3．
∴AC=AE．
∵F为EC的中点，
∴AF⊥EC，
∵AD∥EC，
∴∠AFE=∠FAD=90°．
∴AF⊥AD．
（2）解：延长BA与MN延长线交于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，
∴∠3=∠C，∠F=∠4
∵M为BC的中点
∴BM=CM．
在△BFM和△CNM中，
，
∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF=CN，
∵MN∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．
∴∠E=∠5=∠F．
∴AE=AN，BE=BF．
设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=14﹣x，BE=AB+AE=8+14﹣x．
∴8+14﹣x=x．
解得 x=11．
∴CN=11．


8. 如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．

【解析】解：BM=BN，BM⊥BN．理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE=∠BDC，
∴AE=CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM=DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM=BN，

∠ABM=∠DBN，
∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°
∴∠ABD=∠ABM+∠MBE=90°，
∴∠MBE+∠DBN=90°，
即：BM⊥BN，
∴BM=BN，BM⊥BN．

9.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【解析】解：（1）①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间s，
∴cm/s；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得x=3x+2×10，
解得．
∴点P共运动了×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE=CF．

【解析】证明：∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF．