初中数学12.1 全等三角形课后练习题

第2讲  全等三角形

知识点1 全等三角形的判定与性质

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的性质：

对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

全等三角形的应用：

运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

【典例】

1.如图，已知AB=AC，EC=FB，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△BCE△CBF；②△ABE△ACF；③△BDF△CDE；④D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（　　）

A.①②③    B.②③④        C.①③④     D.①②③④

【方法总结】

这道题中，证明△ABE△ACF，就可以得到∠ABC=∠ACB；再证明△CDE△BDF、△ADC△ADB，得到∠CAD=∠BAD，即可解决问题. 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质定理，这是灵活运用解题的基础．

2.如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（　　）

A.大于EF B.小于EF       C.等于EF   D.与EF的大小关系无法确定

【方法总结】

求证BE，CF，EF之间的关系，应利用全等，把它们整理到一个三角形中进行讨论．本题考查了全等三角形的判定及性质；出现中线问题暂时无法解决时，可延长成原来的2倍，利用SAS来构造全等三角形，这是一种很重要的解题方法，注意掌握．（在下节课中，我们会重点讲解这种方法）

3. 如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【方法总结】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用，对于（1），可以利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；对于（2），由△ACP与△BPQ全等，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可.

【随堂练习】

1．（2019•杭州模拟）如图，在四边形中，，，，则　　

A． B． C． D．

二．解答题（共6小题）

2．（2017秋•句容市校级月考）把两个含有角的大小不同的直角三角板如图放置，点在上，连接，，的延长线交于点．说明：．

3．（2018秋•江都区校级月考）如图，在中，是的中点，过点的直线交于点，交的平行线于点，，交于点．

（1）求证：；

（2）判断与的大小关系，并证明你的结论．

4．（2019•靖江市校级一模）如图，，，点在边上，，和相交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

5．（2019春•新化县期末）四边形中，，，，，垂足分别为、．

（1）求证：；

（2）若与相交于点，求证：．

6．（2019春•锦州期末）如图，在中，，垂足为，为上一点，交于，且，，，求的长．

7．（2019春•洪山区期中）探究

问题1已知：如图1，三角形中，点是边的中点，，，垂足分别为点，，，交于点，连接，．若，则的值为　　．

拓展

问题2已知：如图2，三角形中，，点是边的中点，点在三角形的内部，且，过点分别作，，垂足分别为点，，连接，．求证：．

推广

问题3如图3，若将上面问题2中的条件“”变为“”，其他条件不变，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．

知识点2 角平分线与全等三角形

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，

【典例】

1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点， 且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

对于这道题，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再求出∠AED=∠DFN，然后利用“角角边”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF．

【随堂练习】

1．（2019•花都区一模）如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是　　．

二．解答题（共4小题）

2．（2019春•杜尔伯特县期末）在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点，

①请你判断并写出与之间的数量关系．

②如果不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

3．（2018秋•江门期末）如图，四边形中，，，为边上的一点，且平分，平分．求证：

（1）；

（2）为的中点．

4．（2018秋•浦东新区期末）已知：如图，，平分，平分，交于点，于点．求证：点到与的距离相等．

5．（2019•长春模拟）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

如图②，在四边形中，，点在边上．平分，平分．

（1）求证：．

 综合运用

1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD；（　　）

A.0个     B.1个     C.2个       D.3个

2. 如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A，D重合，记PB+PC=a，AB+AC=b，则a，b的大小关系是（　　）

A.a＞b    B.a=b    C.a＜b    D.不能确定

3. 如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则这个五边形ABCDE的面积是    

4. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．

（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；

（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．

5.如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系；

（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

6.【探究】如图①，在△ABC中，O是BC边中点，连结AO并延长，使DO=AO，连结CD．求证：AB∥CD．

【应用】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，O是BC的中点，连结AO并延长交DC的延长线于点E，若AE平分∠BAD，求证：AD=CD+AB．

7.在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB=8，AC=14，求NC的长．

8. 如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．

9.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE=CF．