初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称课后练习题

第5讲 轴对称图形

 知识点1 轴对称现象

1.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形.

2.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

【典例】

1.下列图形中，是轴对称图形的是____________，其中只有1条对称轴的是________，有3条对称轴的是________，有2条对称轴的是________．（只要求写图形序号）

【答案】（1）（2）（3）； （1）； （2）； （3） 

【解析】解：观察上述几幅图可发现，（1）（2）（3）都可以沿某条直线翻折，且直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形.

画出它们的对称轴如下：

其中只有1条对称轴的是（1），有3条对称轴的是（2），有2条对称轴的是（3）．

故答案为：（1）（2）（3）；（1）；（2）；（3）．

【方法总结】

判断一个图形是否是轴对称图形，只需把这个图形沿着某条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，则它是轴对称图形，反之则不是轴对称图形.

2.如图所示的图形中，属于轴对称图形的有__________________；两个图形成轴对称的有__________________．

【答案】①③④⑧⑩； ②⑤⑦⑨

【解析】解：属于轴对称图形的有①③④⑧⑩；

两个图形成轴对称的有②⑤⑦⑨．

故答案为：①③④⑧⑩；②⑤⑦⑨．

【方法总结】

轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系：

【随堂练习】

1．（2019春•莲湖区期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“”，再把它铺平，你可见到　　

A． B． C． D．

【解答】解：观察选项可得：只有是轴对称图形．

故选：．

二．填空题（共1小题）

2．（2019•拱墅区校级模拟）在日常生活中，你会注意到有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如：浙，浙，浙等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作　200　个．

【解答】解：若第1个数字是8，则第5个数字也是8，

中间的数字分别是时，第2、4个数字分别为各有10种可能，

所以，共有种，

同理第1个数字是9时，也有100种，

所以，最多可制作种．

故答案为：200．

知识点2  轴对称的性质

对应点：折叠后重合的点；

对应线段：折叠后重合的线段；

对应角：折叠后重合的角.

轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角也相等，且关于直线对称的两个图形全等.

【典例】

1. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，

（1）结合图形指出对称点．

（2）找出其中相等的线段和相等的角.

（3）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

【解析】解：（1）由图可知，对称点有A和A′，B和B′，C和C′；

（2）相等的线段：AB=A′B′，AC=A′C′, BC=B′C′;

相等的角：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′;

（3）连接AA′，线段AA′被直线m垂直平分.

【方法总结】

1.本题考查了轴对称的性质，准确掌握对应点、对应线段的含义是解题的关键，还需清楚，对应点的连线被对称轴垂直平分.

2.两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形全等.

注：关于直线对称的两个图形一定全等，而全等的两个图形不一定对称.

2.如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为12，△ECF的周长为3，求四边形纸片ABCD的周长.

【答案】略

【解析】解：由折叠的可知，△ABE和△AFE关于直线AE对称，

则.

∴AF=AB，EF=BE．

四边形纸片ABCD的周长为:

CABCD=AB+BC+CD+AD

=AB+（BE+CE）+（CF+DF）+AD

∵AF=AB，EF=BE

∴原式=AF+EF+CE+CF+DF+AD

= （AF+ DF+ AD）+（EF+CE+CF）

=C△AFD+C△CFE

∵△AFD的周长为12，△ECF的周长为3，

∴CABCD= C△AFD+C△CFE

=12+3

=15.

故四边形ABCD的周长为15cm．

【方法总结】

本题考查的是图形的翻折（轴对称的一种），沿着翻折的那条线所在的直线相当于我们的对称轴，根据轴对称的性质可知，翻折前后的图形是全等的，从而可得出一些线段之间的相等关系，再将找到的这些相等关系和要求的线段之间建立联系，进行求解.

【随堂练习】

1．（2019春•陕西期末）已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则△是　　

A．含角的直角三角形 B．顶角是的等腰三角形 

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：为内部一点，点关于、的对称点分别为、，

且，

故△是等边三角形．

故选：．

二．填空题（共2小题）

2．（2019春•平川区期末）如图，是三角形的对称轴，点、是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是　3　．

【解答】解：是三角形的对称轴，

垂直平分，

即，，

，

．

故答案为3．

3．（2019春•莲湖区期末）如图，点关于、的对称点分别为、，连接，交于，交于，若的周长厘米，则为　8　厘米．

【解答】解：根据题意点关于、的对称点分别为、，

故有，；

则．

故答案为：8．

知识点3 线段的垂直平分线

1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

【典例】

1.关于线段的垂直平分线有以下说法：

①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；

②线段的垂直平分线是一条直线；

③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；

④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

其中，正确的说法有（　　）  

1. 3个     B. 4个       C. 5个     D. 2个

【答案】B

【解析】解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；

②线段的垂直平分线是一条直线，正确；

③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．错误，线段有2条对称轴：还有它本身所在的直线．

④⑤是线段垂直平分线的性质和判定，正确.

正确的个数是4个.

故选：B．

【方法总结】

1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：

条件1，直线和线段垂直；

条件2，直线经过线段的中点.

2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定.

2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长为______．

【答案】6    

【解析】解：直线CD是线段AB的垂直平分线，PA=4，

∴PA=PB=4，

∵△PAB的周长为14，

∴PA+PB+AB=14，

∴4+4+AB=14，

∴AB=6．

故答案为：6．

【方法总结】

本题考查了垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出相等的线段，再将题中给出的三角形周长表示出来，建立线段之间的关系，进而求解出待求的线段长.

【随堂练习】

1．（2019春•青羊区期末）如图，某公园的三个出口、、构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等．则公共厕所应该在　　

A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 

C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点

【解答】解：公共厕所到出口、的距离相等，

公共厕所到在线段的垂直平分线上，

同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点，

故选：．

2．（2019春•东西湖区期末）如图，已知中，，的垂直平分线交于，交于，若，，则为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，

在线段的垂直平分线上，

，

，

，即，

解得，

，

，

在中，由勾股定理可得，

即的长为．

故选：．

3．（2019春•金牛区期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为　　

A．32 B．29 C．38 D．36

【解答】解：是边的垂直平分线，

，，

的周长为26，

，

的周长，

故选：．

4．（2019春•青岛期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：是的平分线，

，

是线段的垂直平分线，

，

，

，

，

解得，，

故选：．

5．（2019春•锦江区期末）如图，在中，点，分别是边上两点，垂直平分，垂直平分，连接，，若，则的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

垂直平分，垂直平分，

，，

，，

，

，

故选：．

6．（2019春•普宁市期中）如图：在中，和的垂直平分线分别交于点、，且点在点的左侧，，则的周长是　　

A． B． C． D．

【解答】解：和的垂直平分线分别交于点、，

，，

的周长，

故选：．

7．（2019•南充）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长为　　

A．8 B．11 C．16 D．17

【解答】解：垂直平分，

，

的周长

．

故选：．

二．填空题（共1小题）

8．（2019春•锦江区期末）如图，为的边的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的周长为　18　．

【解答】解：由题意得，是线段的垂直平分线，

，

，

的周长，

故答案为：18．

知识点4 设计图案

【典例】

1.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出相应的对称轴．

【解析】解：参考图如下图：

【方法总结】

本题是根据轴对称的概念对图形进行设计，可以先在图中确定一条对称轴，再添加相应的正方形；也可以先添加好正方形，再画对称轴进行验证.

【随堂练习】

1．（2018•长春）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：

（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．

（2）所画的两个四边形不全等．

【解答】解：如图所示：

2．（2018春•泉港区期末）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．

（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；

（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．

【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（2）△A′B′C′的面积为：×2×4=4．

   综合运用

1.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案（包括网格）构成一个轴对称图形，则涂色的方法有______种

【答案】5种

【解析】解：如图：

可得使整个图案（包括网格）构成一个轴对称图形，则涂色的方法有5种．

2.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）

A. AB=AD    B. AC平分∠BCD    C. AB=BD     D.

【答案】C.

【解析】解：∵AC垂直平分BD，

∴AB=AD，BC=CD，选项A正确，

∵在△ABE和△ADE中，

∴,

∴∠BAE=∠DAE,

∴AC平分∠BCD，选项B正确，

∴∠BCE=∠DCE，

在Rt△BCE和Rt△DCE中，

,

∴（HL），选项D正确，故选：C．

2.如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】解：轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．

轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线折叠后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．

根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可知，

图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；

图（2）（5）（7）（9）成轴对称．

1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．试说明BC=2AB．

【解析】证明：∵DE是BC的垂直平分线，

∴BE=EC，DE⊥BC，

∵∠A=90°，

∴DA⊥AB．

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴DA=DE，

又∵BD=BD，

∴△ABD△EBD，

∴AB=BE，

∴BC=2AB．

4.已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

【解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，，

∴△ABD△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

5.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

【解析】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，

∴，

 ∴7DE=28．

∴DE=4．