数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题习题

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第8讲 最短路径问题


知识点1 将军饮马问题（一）
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． 诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
解决办法： 从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：

则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

【典例】
1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．

【答案】略．
【解析】解：作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，如图所示．

则点P即为所求点．
【方法总结】


【随堂练习】
1．（2018•怀远县模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为（　　）

A．12 B．8 C．7 D．6
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM．
∴BM+MD=MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8；
故选：B．

知识点2 将军饮马问题（二）
【典例】
1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，
（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．

【答案】略．
【解析】解：（1）作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．如下图所示：

此时，△PEF的周长最小．
（2）连接OC，OD，PE，PF．如下图所示：

∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，
OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2∠AOB，即∠AOB=12∠COD，
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP
=CE+EF+FD
=CD
=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=12∠COD
=12×60°
=30°．
故答案为：30°．
【方法总结】

【随堂练习】
1．（2017秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC=5，BC=8，则△AEC的周长最小值为____．

【解答】解：如图，连接BE，
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，
∴l是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，
∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13，
故答案为：13．


知识点3 造桥选址问题
【典例】
【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．

天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．
【答案】略．
【解析】解：作法：①将点A竖直向下平移到点A′，使AA′=20，
②连接A′B，与l2交于点P，
③过点P作PQ⊥l1于Q，
④连接AQ、BP．
则天桥建在PQ处能使由A经过天桥走到B的路程最短，如图2所示；

【方法总结】
1.”造桥选址”问题解答方法：

注意：如果要求架桥到两地的距离相等，则需要根据“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”来进行设计.
2.勾股定理
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c².即直角三角形中两直角边的平分和等于斜边的平分，如下图所示：

注：勾——最短的边，股——较长的直角边，弦——斜边.
“造桥选址”问题中桥的长度的计算通常借助勾股定理来解决.
【随堂练习】
1．（2017•内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=____．

【解答】解：作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4，PD=18，
∴DQ==，CD=PD﹣PC=18﹣8=10，
∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴PA=BC，
∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．
故答案为16．


知识点4 几何图形中的最短距离问题
【典例】
1.（1）问题发现：
如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．
作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）
（2）解决问题：
如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．
①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）
②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））

（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】略．
【解析】解：（2）如图2所示：点P为所求，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=2，
∵在Rt△AEC中，AC=4，AE=2，
∴根据勾股定理可得，AC²=AE²+EC²，即4²=2²+EC²，
解得，CE=23，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴可知AD垂直且平分BC，
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE
=CE
=23，
故这个最短距离为：23，
（3）作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′，D′与OM，ON的交点分别就是C，B二点．连接DD′，AA′，OA′，OD′．如图3所示：

则此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离，
∵D关于OM的对称点为点D′，A作关于ON的对称点为点A′，
∴OD=OD′，OA=OA′，∠NON=∠D′OM，∠NON=∠A′ON，
∴∠OAA′=∠NON+∠A′ON
=∠NON+∠NON
=2∠NON
=2×30°
=60°，
即∠OAA′=60°，
∵OA=OA′，∠AOA′=60°，
∴∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等边三角形．
同理△ODD′也是等边三角形．
∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，
∵∠NON=∠D′OM，∠NON=30°，
∴∠D′OM=30°，
∴∠D′OA′=∠OAA′+∠D′OM
=60°+30°
=90°．
∵在Rt△A′OD′中，OD'=24，OA′=7，
∴根据勾股定理可得，A′D′²= OD'²+ OA′²，即A′D′²= 24²+ 7²，
解得，A′D′=25．
故答案为：25．
【方法总结】

【随堂练习】
1. 如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是____

【答案】6
【解析】解：连接CF，如下图所示：

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC.
∴EB=EC，∠ADB=90°，BD=DC=12BC，
当C、F、E三点共线时，EF+BE=EF+EC= E=CF，存在EB+EF的最小值，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴∠CFB=90°，BF=AF=12AB，
∴∠ABD=∠CFB=90°，
∴△CFB，△ADB都是直角三角形，
∵在Rt△CFB与Rt△ADB中，CB=ABBF=BD
∴Rt△CFB≌Rt△ADB（HL），
∴CF=AD=6，
∴EF+BE的最小值为6，
2.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为_____（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））

【答案】33
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC=3，
连接AE，如下图所示：

则线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵在Rt△AEC中，AC=6，EC=3，
∴根据勾股定理可得，AC²= AE²+ EC²，即6²= AE²+ 3²，
解得， AE=33，
∴PE+PC的最小值是33．

综合运用
1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．

【答案】2018．
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，如下图所示：

则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，MP=P1M，PN=P2N，
△PMN的周长的最小值=P1P2，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=∠P1OA+∠POA+∠POB+∠P2OB
=∠POA +∠POA+∠POB+∠POB
=2（∠POA+∠POB）
=2∠AOB
=60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
∴P1P2=OP1=OP2，
∵OP=OP2=2018，
∴P1P2 =2018．
故答案为：2018．

2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=23cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．

【答案】23．
【解析】解：连接EC交于AD于点P，如下图所示．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴PB=PC．
∴PE+PB=EP+PC=EC．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EAC=∠ACD=60°，AB=BC．
∵点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴AE=12AB，DC=12BC，
∴AE=DC．
∵在△ACE和△CAD中，&AE=DC&∠EAC=∠ACD&AC=CA，
∴△ACE≌△CAD．
∴EC=AD=23．
故答案为：23．
3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．

【解析】解：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，
如图所示：

则点C即为所求点．

4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．

【解析】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，如下图所示：

则△PP1P2即为所求．
理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2
=EP1+P1P2+P2F
=EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．

5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）

【解析】解：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，如下图所示：
沿AC﹣CD﹣DB路线走是最短的路线，如下图所示：

证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
如下图所示：

∵A、E关于ON对称，
∴AC=EC，AE=ET
同理BD=FD，FR=BR，
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，
AT+TR+BR=ET+TR+FR，
∵ET+TR+FR＞EF，
∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，
即沿AC﹣CD﹣DB路线走是最短的路线．

6. 已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；
②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；
（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

【解析】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，
故答案为：100°；
②∵PO=5，
∴GO=HO=5，
当∠MON=90°时，∠GOH=180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH=GO+HO=10；
故答案为：10.
（2）分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，如下图所示：


则AP=AP'，BP=BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
∴∠P′OP″=∠P′OA+∠POA+∠P″OB+∠POB
=∠POA +∠POA+∠POB +∠POB
=2（∠POA+∠POB）
=2∠MON
=2×60°
=120°，
∴∠OP′P″=∠OP″P′
=（180°﹣∠P′OP″）÷2
=（180°﹣120°）÷2
=30°，
又∵∠OPP'=∠OP'P，∠APP'=∠AP'P，
∴∠APO=∠AP′O=30°，
同理可得∠BPO=∠OP″B=30°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO
=30°+30°
=60°．
故∠APB的度数为：60°．

7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：
（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．
（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？

【解析】解：（1）设桥为 CD，则这个问题中的路线为 AC、CD、DB 三条线段之和．经观察，不难发现其中的线段 CD 是定值，因此只需要考虑使 AC+DB 最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移 DB 到 CB′，此时连接 AB′交l于P，得桥址．

（2）如图②，作点B关于街道的对称点B2，连接AB2，作AB2的垂直平分线，与街道靠近A的一侧相交于点A2，过A2点建桥即符合要求．

【补充练习】
1．（2018秋•端州区期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）若，则的度数是　50　度．
（2）若，的周长是．
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．

【解答】解：（1），
，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
故答案为：50；
（2）①是的垂直平分线，
，
的周长，
，的周长是14，
；
②当点与重合时，周长的值最小，
理由：，，
与重合时，，此时最小，
周长的最小值．

2．（2018秋•崇川区期末）如图，已知两点、在锐角内，分别在、上求作点、，使最短．

【解答】解：如图所示．