人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习

第8讲  最短路径问题

知识点1 将军饮马问题（一）                                                            

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． 诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？  

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．                                                        

解决办法： 从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：

则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

【典例】

1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．

【方法总结】

【随堂练习】

1．（2018•北辰区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（　　）

A．AC B．AD C．BE D．BC

知识点2 将军饮马问题（二）

【典例】

1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，

（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．

（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．

【方法总结】

【随堂练习】

1．（2017秋•北京期末）如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为_____．

知识点3 造桥选址问题

【典例】

【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．

天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．

【方法总结】

1.”造桥选址”问题解答方法：

注意：如果要求架桥到两地的距离相等，则需要根据“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”来进行设计.

2.勾股定理

如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c².即直角三角形中两直角边的平分和等于斜边的平分，如下图所示：

注：勾——最短的边，股——较长的直角边，弦——斜边.

“造桥选址”问题中桥的长度的计算通常借助勾股定理来解决.

(选讲)知识点4 几何图形中的最短距离问题

【典例】

1.（1）问题发现：

如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．

作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）

（2）解决问题：

如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．

①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）

②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））

（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）

【方法总结】

【随堂练习】

1.在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在______

   综合运用

1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．

2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．

3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．

4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．

5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）

6. 已知点P在∠MON内．

（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．

①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；

②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；

（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：

（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．

（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？

【补充试题】

1．（2019春•余姚市期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条公路连接，两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案　　

A． B． 

C． D．

2．（2018秋•石景山区期末）如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线上的某点处修建一个水泵站向，两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是　　

A． B． 

C． D．

3．（2018秋•嘉善县期末）如图，，点是内的一定点，点、分别在、上移动，当的周长最小时，的值为　　

A． B． C． D．

4．（2018秋•蔡甸区期末）如图，在四边形中，，，在、上分别找一点、，使的周长最小．此时，　　

A． B． C． D．

5．（2018秋•无为县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是　　

A．2 B．4 C．6 D．8

6．（2019•东丽区一模）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是　　

A． B． C． D．

7．（2018秋•营口期末）如图，在四边形中，，，点，分别是线段，上的动点．当的周长最小时，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（2018秋•河池期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（2019春•高新区期末）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

10．（2019春•南海区期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为　　．

11．（2019春•泉州期末）如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是　　．