初中数学14.2.1 平方差公式习题

第9讲  乘法公式一平方差公式

 知识点1 平方差公式

平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．

【典例】

1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）

A. （﹣a+b）（a﹣b）  B. （x+2）（2+x）  C. （+y）（y﹣）  D. （x﹣2）（x+1）

【方法总结】

平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差．也就是说，左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数．

2.计算（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）时，下列变形中正确的是（　　）

A. [x﹣（2y+1）][x+（2y+1）] B. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] 
C. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] D. [（x+1）﹣2y][（x+1）+2y]

【方法总结】

平方差公式一般是两数的和与它们的差的积等于这两数的平方差，但这里边的a和b也可以用式子来表示，对于（a-b+c）（a+b-c）这类题而言，我们可以对两个括号内的式子进行变形，目的是拼凑出两个数（或式子）的和与差的乘积形式，观察易得出（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]，这样就变成了a与（b-c）的和与差的乘积，所以可得出

（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]=a2-（b-c）2然后再进行下一步计算.

知识点2 利用平方差公式进行数的运算

在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；

例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．

【典例】

1.20132﹣2011×2015的计算结果是（　　）

A. 2      B. ﹣2      C. 4       D. ﹣4

【方法总结】
此题主要考查了平方差公式，关键是掌握

本题直接计算，计算量很大，观察式子可以发现，题目中给出了20132，所以在对后面的式子进行变形时，尽量凑出2013，那么很容易得出2011=2013-2，2015=2013+2，再利用平方差公式2011×2015=（2013-2）×（2013+2），然后再计算即可．

知识点3 利用平方差公式进行整式的运算

【典例】

1.如果（m+1+n）（m-1+n）=8，那么m+n的值为（　　）

A. ±9     B. ±3     C. 3       D. 9

【方法总结】

通过上边的学习我们知道，对于这种两个三项式相乘，我们可以对两个三项式变形，使他们分别变成两个数（或式子）的和与差相乘的形式，然后再利用平方差公式进行下一步计算，除此之外需要注意，结果是两个数，二者互为相反数.

【随堂练习】

1．（2019春•涟源市期末）下列各式中正确的有　　个：

①；

②

③；

④

⑤；

⑥

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2019春•灌云县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数” 　　

A．56 B．66 C．76 D．86

3．（2019春•利津县期末）下列各式能够成立的是　　

A． B． 

C． D．

4．（2019春•丹东期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是　　

A． B． 

C． D．

5．（2019春•福田区期末）下列乘法运算中，能用平方差公式的是　　

A． B． C． D．

6．（2019春•锦江区期末）将变形正确的是　　

A． B． C． D．

二．解答题（共2小题）

7．（2019春•怀宁县期末）．

8．（2019春•新华区期末）计算：．

知识点4 平方差公式—几何背景

平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．

【典例】

1.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　）

A. （a+b）（a﹣b）=a2+b2   B. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

C. （a+b）2=a2+2ab+b2       D. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

【方法总结】

本题考查了平方差公式的几何背景，认识不同表示方法之间的关系，解题的重要点是利用面积的不变性.

【随堂练习】

1．（2018秋•沛县期末）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重盘无縫隙），则矩形的面积为　　

A． B． C． D．

2．（2019春•平谷区期末）根据如图可以验证的乘法公式为　　

A． B． 

C． D．

3．（2019春•来宾期末）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为　　

A． B． 

C． D．

4．（2018秋•双城区期末）如图的分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证　　

A． B． 

C． D．

5．（2018秋•德惠市期末）如图①，从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②，则上述操作所能验证的公式是　　

A． B． 

C． D．

6．（2019春•滕州市期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是　　

A． B． C． D．

7．（2019春•冠县期末）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是　　

A． B． 

C． D．

8．（2019春•和平区期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于、的恒等式为　　

A． B． 

C． D．

二．填空题（共1小题）

9．（2019春•陕西期末）如图所示，在边长为的正方形中减去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形如图，分别计算这两个图阴影部分的面积，验证了公式：　　，用此公式计算：　　．

   综合运用

1.（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是__________

2.若（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣16y2，则a=　　．

3.（m+3）（m﹣3）=　 　．

4.计算：（﹣m+n）（﹣m﹣n）=　　．

5.化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为___________

6.计算20072﹣2006×2008得_______
7.已知A=99×100×101，B=98×100×102，则A﹣B的值是___________

8.计算（2x﹣3y+1）（2x+3y﹣1）的结果是_________

9.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是___________