人教版初二数学上册（秋季班）讲义 第13讲 分式的运算--基础班

第13讲 分式的运算

知识点1 分式

【随堂练习】

1．（2018秋•伍家岗区期末）计算的结果为　　

A． B． C．1 D．2

【解答】解：原式

，

故选：．

2．（2019春•雅安期末）下列各式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、当时，原式不成立，故本选项错误；

、当，原式不成立，故本选项错误；

、，故本选项错误；

、原式成立，故本选项正确．

故选：．

3．（2019春•雅安期末）如果把分式中的，都扩大到10倍，那么分式的值　　

A．扩大10倍 B．不变 C．扩大20倍 D．是原来的

【解答】解：分式中的和都扩大了10倍，得

，

所以分式的值扩大10倍，

故选：．

4．（2019春•德阳期末）下列式子中，取任何实数都有意义的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，无论为何值，都大于零，故取任何实数都有意义，符合题意；

、，有可能小于零，故此选项不合题意；

、，有可能小于零，故此选项不合题意；

、，当时，分式无意义，故此选项错误；

故选：．

5．（2019春•南岸区校级期中）下列变形中，正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、根据分式的基本性质可知：这个变形是错误，故此选项错误；

、根据分式的基本性质可知：这个变形是错误，故此选项错误；

、根据分式的基本性质可知：这个约分是正确的，故此选项正确；

、根据分式的基本性质可知：这个变形是错误，故此选项错误；

故选：．

6．（2019春•揭西县期末）下列变形中，正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：、分母不能分解因式，所以原式不能约分，故错误；

、，故错误；

、，故错误；

、，故正确；

故选：．

7．（2019春•蔡甸区期末）已知三个数、、满足，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，，，

，，，

，

，

，

故选：．

8．（2019春•渠县期末）下列各等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，故此选项不成立；

、，故此选项不成立；

、，故此选项成立；

、，故此选项不成立；

故选：．

知识点2  分式的乘除运算

1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

3、分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

，即

【典例】

1.计算：．

【解析】解：原式=

=

=

【方法总结】

分式的乘除法：先把除法化为乘法运算，再把各分式的分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式.

注意：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算

【随堂练习】

1．（2019春•普宁市期末）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．，此选项计算错误；

．，此选项错误；

．，此选项错误；

．，此选项正确；

故选：．

2．（2019春•安徽期末）计算的结果是　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：原式

，

故选：．

3．（2019春•永州期末）化简的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

4．（2019•商河县二模）化简的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

5．（2019•长清区二模）化简的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

6．（2019•河西区模拟）计算的结果为　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式

，

故选：．

7．（2019•滨海新区一模）化简的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式

故选：．

8．（2019•市中区一模）化简：的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

知识点3  分式的加减运算

分式的加减法法则：

（1）同分母分式：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

（2）异分母分式：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

注：分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。

【典例】

1.计算：．

【解析】解：

=

=

=

=

=

=

=

【方法总结】

本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

【随堂练习】

1．（2019•晋江市二模）若（其中，则代数式的值为　　

A．2 B． C． D．

【解答】解：，

，

则原式，

故选：．

2．（2019春•东台市期中）化简的结果是　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

3．（2019•红桥区一模）计算的结果为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：原式

，

故选：．

4．（2019•天津模拟）计算的结果为为　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

5．（2019春•海淀区校级月考）如果，那么的值是　　

A．2 B．4 C． D．

【解答】解：当时，

原式

，

故选：．

6．（2019•定州市二模）若，且，则的值为　　

A．3 B． C．1 D．

【解答】解：由，得到，

则原式，

故选：．

7．（2019•扬州一模）已知，则代数式的值为　　

A．3 B．1 C． D．

【解答】解：，

，

则，

，即，

则原式

，

故选：．

8．（2019•太原一模）化简的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式

，

故选：．

9．（2019春•江都区期中）已知，则分式的值为　　

A． B．9 C．1 D．不能确定

【解答】解：，

，

．

故选：．

二．填空题（共2小题）

10．（2019春•江岸区校级月考）化简的结果是　　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

11．（2019春•江岸区校级月考）化简的结果是　　．

【解答】解：原式，

，

，

，

故答案为：．

知识点4 分式的混合运算

对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．

分式的混合运算顺序与整式的混合运算相同，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

【典例】

1.计算：

【解析】解：

=

=

=

=

【方法总结】

注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

【随堂练习】

1．（2019春•张家港市期末）计算的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式

，

故选：．

2．（2019春•微山县期中）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

故选：．

3．（2019•潍坊一模）化简的结果等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式

．

故选：．

4．（2019•坪山区模拟）化简的结果为　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

5．（2019春•宿豫区期中）计算的结果为　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

6．（2018秋•安顺期末）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和　　

A．0 B．12 C．10 D．8

【解答】解：

，

为整数，且分式的值为正整数，

，3，

，6，

所有符合条件的的值的和：．

故选：．

7．（2018秋•东莞市期末）已知，则　　

A．7 B．11 C．9 D．1

【解答】解：，

，

则，

故选：．

8．（2019•台州模拟）下列代数式变形正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，故选项错误；

、，故选项错误；

、，故选项错误；

、，故选项正确．

故选：．

9．（2019春•工业园区期中）已知：，则的值为　　

A．3 B．5 C．7 D．9

【解答】解：，

两边除以得到，

，

，

故选：．

10．（2019春•顺德区期末）下列分式运算中，正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，故选项错误，

，故选项错误，

，故选项正确，

，故选项错误，

故选：．

二．解答题（共1小题）

11．（2019春•苍南县期末）计算：

（1）

（2）

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

知识点5  分式的化简求值

先把分式化简，再把未知数对应的值代入化简后的式子求值

注：在化简过程中要注意运算顺序，运算的结果要化成最简分式或整式

【典例】

1.先化简，再求值：，其中a，b满足

【解析】解：

=

=

=

=

=，

∵a，b满足

∴，，解得a=﹣1，

当，时，原式=

【方法总结】

1、先把分式化简成最简分式或整式，再代入求值，不能直接把值代入原分式中求解。

2、代入求值时，不可缺少必要的步骤，一般模式为：“当……时，原式=……”.

【随堂练习】

1．（2019•云南模拟）如果m﹣n＝，m≠0，那么代数式的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：原式＝•m＝，

当m﹣n＝时，原式＝，

故选：D．

2．（2019春•瑞安市期末）若x+y＝2z，且x≠y≠z，则的值为（　　）

A．1 B．2 C．0 D．不能确定

【解答】解：∵x+y＝2z，且x≠y≠z，

∴x﹣z＝z﹣y，

∴

＝

＝

＝

＝1，

故选：A．

3．（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），

当m+n＝1时，原式＝3．

故选：D．

4．（2019•通州区三模）如果x2+x﹣3＝0，那么代数式（﹣1）÷的值为（　　）

A．﹣ B．0 C． D．3

【解答】解：原式＝（）÷

＝•

＝

∵x2+x﹣3＝0，

∴x2+x＝3，

∴原式＝，

故选：C．

5．（2019•昌平区二模）如果m+n＝2，那么代数式的值是（　　）

A．2 B．1 C． D．﹣1

【解答】解：原式＝（）•

＝•

＝

∵m+n＝2，

∴原式＝＝1，

故选：B．

6．（2019•朝阳区二模）如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．3

【解答】解：原式＝（﹣）•

＝•

＝，

∵x﹣3y＝0，

∴x＝3y，

则原式＝＝2，

故选：B．

7．（2019•丰台区二模）如果m2+m﹣＝0，那么代数式（+1）÷的值是（　　）

A． B．2 C．+1 D．+2

【解答】解：（+1）÷

＝

＝

＝m2+m，

∵m2+m﹣＝0，

∴m2+m＝，

∴原式＝，

故选：A．

8．（2019•朝阳区一模）如果a﹣b＝，那么代数式（﹣a）•的值为（　　）

A．﹣ B． C．3 D．2

【解答】解：原式＝

＝

＝﹣（a﹣b），

∵a﹣b＝，

∴原式＝﹣，

故选：A．

二．填空题（共1小题）

9．（2019•海淀区校级模拟）如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是　1　．

【解答】解：（a﹣）•

＝

＝

＝a（a+2）

＝a2+2a，

∵a2+2a﹣1＝0，

∴a2+2a＝1，

∴原式＝1，

故答案为：1．

三．解答题（共2小题）

10．（2019•银川校级三模）先化简再求值：÷﹣，其中：a是﹣2＜a＜2的整数．

【解答】解：÷﹣

＝

＝

＝，

∵a是﹣2＜a＜2的整数，

∴a＝﹣1，0，1，

∵a﹣1≠0，a≠0，

∴a≠1，a≠0，

∴a＝﹣1，

∴当a＝﹣1时，原式＝．

11．（2019•鼓楼区校级模拟）先化简，再求值：（﹣2），其中x＝﹣1

【解答】解：（﹣2）

＝

＝

＝，

当x＝﹣1时，原式＝．

（选学）知识点6  分式运算找规律　

常见列项公式

（1）

（2）

（3）

【典例】

1.观察下列等式：

…

将以上等式相加得到

用上述方法计算：.

【答案】略

【解析】解：

=

=

=．

【方法总结】

列项公式的变形，

综合运用

1.计算下列分式

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【解析】解：（1）

=

=

=

（2）

=

=

=

=．

（3）

=

=

=

=

（4）

=

=

=

=

2.计算下列分式

（1）；

（2）.

【解析】解：（1）

=

=

=

=

=

（2）

=

=

=

3.计算下列分式

（1） ；

（2）.

【解析】解：（1）

=

=

=

（2）

=

=

=

=

=

4.已知，求的值.

【解析】解：将原式分子分母同时除以，

=

=

因为，所以

当时，原式==1

5.化简，求值：，其中

【解析】解：

=

=

=•

=•

=

当时，原式

6.对于正数，规定：

例如：，，．

（1）求值：______；

（2）猜想：_________，并证明你的结论：

（3）求：

的值．

【解析】解：（1），==，

则1；

故答案为：1；

（2）猜想：

理由为：，

则

故答案为：1；

（3）

=

=2016+0.5

=2016.5