人教版初二数学上册（秋季班）讲义 第13讲 分式的运算--尖子班

第13讲 分式的运算

知识点1 分式

【随堂练习】

1．（2018秋•凉州区期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　 （填写序号即可）；

（2）若为正整数，且为“和谐分式”，请写出的值；

（3）在化简时，

小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：

小强：

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，

请你接着小强的方法完成化简．

2．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．

知识点2  分式的乘除运算

1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

3、分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

，即

【典例】

1.计算：．

【方法总结】

分式的乘除法：先把除法化为乘法运算，再把各分式的分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式.

注意：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算

【随堂练习】

1．（2019•武汉模拟）化简　 　．

2．（2018•朝阳区一模）如果，那么代数式的值是　 　．

二．解答题（共2小题）

3．（2019春•九龙坡区校级月考）化简（1）

（2）

4．（2019春•靖江市校级期末）若，，，

（1）当时，计算与的值；

（2）猜想与的大小关系，并证明你的猜想．

知识点3  分式的加减运算

分式的加减法法则：

（1）同分母分式：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

（2）异分母分式：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

注：分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。

【典例】

1.计算：．

【方法总结】

本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

【随堂练习】

1．（2019春•萧县期末）已知下面一列等式：

；；；；．

（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：

（2）验证一下你写出的等式是否成立；

（3）利用等式计算：．

2．（2017秋•朝阳区期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．

（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；

（2）若分式的值为整数，求的整数值．

3．（2018秋•邵阳县期末）已知，求、的值．

知识点4 分式的混合运算

对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．

分式的混合运算顺序与整式的混合运算相同，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

【典例】

1.计算：

【方法总结】

注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

【随堂练习】

1．（2019春•靖江市期中）（1）已知，，求与的值；

（2）已知，求的值

2．（2019•江北区模拟）计算：

（1）

（2）．

3．（2018秋•綦江区期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为常分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．

如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．

如：；

解决下列问题：

（1）分式是　 　分式（填“真分式”或“假分式” ；

（2）将假分式化为带分式；

（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．

4．（2018•重庆）计算：

（1）

（2）

5．（2018•北碚区校级模拟）计算：

（1）

（2）

知识点5  分式的化简求值

先把分式化简，再把未知数对应的值代入化简后的式子求值

注：在化简过程中要注意运算顺序，运算的结果要化成最简分式或整式

【典例】

1.先化简，再求值：，其中a，b满足

【方法总结】

1、先把分式化简成最简分式或整式，再代入求值，不能直接把值代入原分式中求解。

2、代入求值时，不可缺少必要的步骤，一般模式为：“当……时，原式=……”.

【随堂练习】

1．（2019春•滨海县期中）已知分式．

（1）若，，求的值；

（2）若，，求的值？

2．（2018秋•綦江区期末）先化简，再求值：，其中．

3．（2018秋•乐亭县期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．

（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是　　（填序号）；

①；②；③；④

（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　　　　；

（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．

4．（2019春•鄞州区期末）已知：，．

（1），，求代数式，的值．

（2）若，，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．

5．（2019春•濉溪县期末）先化简，再求值：，其中．

6．（2019春•灞桥区校级期末）先化简：，然后在，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．

（选学）知识点6  分式运算找规律　

常见列项公式

（1）

（2）

（3）

【典例】

1.观察下列等式：

…

将以上等式相加得到

用上述方法计算：.

【方法总结】

列项公式的变形，

综合运用

1.计算下列分式

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

2.计算下列分式

（1）；

（2）.

3.计算下列分式

（1） ；

（2）.

4.已知，求的值.

5.化简，求值：，其中

6.对于正数，规定：

例如：，，．

（1）求值：______；

（2）猜想：_________，并证明你的结论：

（3）求：

的值．