初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程当堂达标检测题

第14讲  解分式方程

知识点1 分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程

（2）解这个整式方程

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：

如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原方程的解；

如果最简公分母的值为，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.

【典例】 

1.解分式方程

【解析】解：

方程两边同乘，得：，

整理得：，

解得：，

检验：当时，≠0，所以原方程的解为.

【方法总结】

1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；

2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.

2.解分式方程：

【解析】解：方程两边乘以得：

去括号：，

解得：

检验：当时，最简公分母，

所以，是原方程的解.

【方法总结】

1、去分母时，每一项都要乘以，“-1”项不要漏乘。

2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根

【随堂练习】

1．（2018秋•邢台期末）阅读材料：小华像这样解分式方程

解：移项，得：

通分，得：

整理，得：

分子值取0，得：

即：

经检验：是原分式方程的解．

（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是　分式的值为0即分子为0且分母不为0　；

（2）试用小华的方法解分式方程

【解答】解：（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是分式的值为0即分子为0且分母不为0，

故答案为：分式的值为0即分子为0且分母不为0．

（2），

，

，

，

则，

解得：，

检验：时，分母为0，分式无意义，

所以是增根，原分式方程无解．

2．（2018秋•河池期末）解分式方程：．

【解答】解：方程两边同乘，得

解得：，

经检验是分式方程的解．

3．（2018秋•滨州期末）阅读下列材料：

在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．

经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：

小杰说：解这个关于的分式方程，得．由题意可得，所以，问题解决．

小哲说：你考虑的不全面，还必须保证，即才行．

（1）请回答：　小哲　的说法是正确的，并简述正确的理由是　 　；

（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：

若关于的方程的解为非负数，求的取值范围．

【解答】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；

故答案为：小哲；分式的分母不为0；

（2）去分母得：，

解得：，

由分式方程的解为非负数，得到，且，

解得：且．

4．（2018秋•延庆区期末）解方程：．

【解答】解：方程两边同乘，得，

整理，得，

解得，，

检验：当时，，

则是原分式方程的解．

知识点2  分式方程的解

1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．”

2、此类问题的步骤

（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；

（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式；

（3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.

【典例】

1.关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．

【解析】解：方程两边同时乘以得：

，

去括号，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：7x=7+k，

系数化为1，得：，

根据题意得：且，

解得k≥-7且k≠-21，k≠0

所以的取值范围是k≥-7且k≠0.

【方法总结】

1、“非负数”是大于等于0的数.

2、不要漏掉，这两个限制条件.

【随堂练习】

1．（2019•沙坪坝区校级三模）若数使关于的一元一次不等式组有整数解，且整数解的个数不超过4个，同时使得关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有的值之和是　　

A．5 B．6 C．9 D．13

【解答】解：解不等式组，得，

不等式组有整数解，且整数解的个数不超过4个，

整数解为，0，1，2，

，

解得，

解分式方程，得，

的分式方程为整数解，

，

故满足条件的所有的值之和为5，

故选：．

2．（2019•渝中区校级模拟）如果关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是　　

A．15 B．27 C．29 D．42

【解答】解：解不等式组，得：，

不等式组有且仅有三个奇数解，

，

解得：，

解关于的分式方程：，

得：，

分式方程有非负数解，

，且，，

解得：且，

综上，和15，

所以所有满足条件的整数的值为14，15，和为29．

故选：．

3．（2019•沙坪坝区校级模拟）若数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则满足条件的所有整数的个数是　　

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：由不等式组可知：且，

有解且至多有3个整数解，

，

由分式方程可知：，

将代入，

，

，

，

是整数，

，

综上，，

所有满足条件的整数有：3、4、6、7，4个，

故选：．

4．（2019•北碚区校级一模）整数满足下列两个条件，使不等式恰好只有3个整数解，使得分式方程的解为整数，则所有满足条件的的和为　　

A．2 B．3 C．5 D．6

【解答】解：由不等式组可知：，

有且只有3个整数解，

，

，

由分式方程可知：，

将代入，

，

关于的分式方程有整数解，

能被整除，

是整数，

、3、5、6、7、10、；

，

或3，

所有满足条件的整数之和为5，

故选：．

5．（2019•南岸区校级三模）若关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组有解则整数的值有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：解不等式组，得：，

不等式组有解，

，

解得：，

解关于的分式方程

得：，

分式方程有正整数解，

是6的约数，且，，

解得：或2，

所以所有满足条件的整数的值为2，1，一共2个．

故选：．

6．（2019•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为　　

A．0 B．1 C．4 D．6

【解答】解：由不等式组得：

解集是，

；

由关于的分式方程得

，

有非负整数解，

，

，且，（舍，此时分式方程为增根），，

它们的和为1．

故选：．

7．（2019•重庆）若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是　　

A． B． C． D．1

【解答】解：由关于的不等式组得

有且仅有三个整数解，

，，2，或3．

，

；

由关于的分式方程得，

，

解为正数，且为增根，

，且，

，且，

所有满足条件的整数的值为：，，0，其和为．

故选：．

8．（2019•克东县二模）如果关于的不等式的解能中仅含有两个正整数解，且关于的分式方程有非负数解，则整数的值　　

A．2或3或4 B．3 C．3或4 D．2或3

【解答】解：解不等式，得

，

仅含有两个正整数解，

，2，

，

，

解分式方程，得

，

，

，

，3，4，

故选：．

9．（2019•江北区一模）若数使关于的不等式组至少有3个整数解，且使关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和是　　

A．14 B．15 C．23 D．24

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组至少有3个整数解，

；

分式方程两边乘以，得：，

解得：，

分式方程有非负整数解，

取，1，3，5，7，9，11，

，

只能取，1，3，5，7，

则所有整数的和为，

故选：．

10．（2019•禹城市一模）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　

A．且 B．且 C．且 D．

【解答】解：解方程，得

，

，

，

是方程的增根，

时，

解得，

即当时，分式方程有增根，

，

的取值范围是且．

故选：．

11．（2019春•南岸区校级期中）若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是　　

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：

化简得，

．

又

解得，．

由不等式组至少有三个整数解且所有解都满足

故．

又

化整得，

解得，．

由该方程有整数解，则，且应为2的整数倍．

解得，．

在且中，满足应为2的倍数的整数的取值有两个，分别为，，3．

故选：．

知识点3  分式方程的增根

概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根

【典例】

1.若关于的方程有增根，则=________.

【答案】3或

【解析】解：

方程两边都乘，得，

∵分式方程有增根，

∴最简公分母=0，所以增根是或

把代入，整理得

把代入，整理得

所以的值为3或

故答案为：3或．

【方法总结】

本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：

① 去分母，化分式方程为整式方程；

② 让最简公分母为0，从而确定增根；

③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

2.若方程有增根，则它的增根是（　　）

A. x=0    B. x=1    C. x=﹣1       D. x=1和﹣1

【答案】B.

【解析】解：

方程两边都乘，得

，

由最简公分母，可知增根可能是或﹣1．

把带入，整理得m=3，

把带入，整理得6=0，整式方程无解，

所以原方程的增根只能是x=1．

故选：B

【方法总结】

此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：

① 化分式方程为整式方程；

② 让最简公分母为0确定可能的增根；

③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.

注意：使最简公分母为0的值，不一定是分式方程的增根.

【随堂练习】

1．分式方程有增根，则的值为　　

A．0和3 B．1 C．1和 D．3

【解答】解：分式方程有增根，

，，

，．

两边同时乘以，原方程可化为，

整理得，，

当时，，

当时，，

当时，方程为，

此时，

即方程无解，

时，分式方程有增根，

故选：．

二．填空题（共7小题）

2．（2019春•沙坪坝区校级期中）关于的分式方程会产生增根，则　或6　．

【解答】解：方程两边都乘，得

，即，

最简公分母为，

原方程增根为，

把代入整式方程，得．

把代入整式方程，得．

综上可知或6．

故答案为：或6

3．（2019春•新蔡县期末）若分式方程要产生增根，则　2　．

【解答】解：去分母得：，

由分式方程有增根，得到或，

当时，；当时，，

检验：当时，此时，分式方程，增根不是，舍去，

故答案为：2．

4．（2019春•江阴市期中）若分式方程有增根，则的值为　1　．

【解答】解：方程的两边都乘以，得

，

化简，得

，

原方程的增根为，

把代入，

得，

故答案为：1．

5．（2019春•埇桥区期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　．

【解答】解：方程两边都乘，得

原方程增根为，

把代入整式方程，得，

解得．

故答案为：．

6．（2019•德城区一模）当　7　时，分式方程有增根．

【解答】解：方程两边都乘以，得

，

原方程有增根，

最简公分母，

解得，

把代入，中，得．

故答案为：7．

7．（2019•广陵区校级二模）　3　时，方程会产生增根．

【解答】解：方程去分母得：，

将代入得：，

故答案为：3．

8．（2019春•嘉兴期末）若方程有增根，则的值为　2　．

【解答】解：去分母得：，

将代入得：，

解得：．

故答案为：2

三．解答题（共1小题）

9．（2017秋•凤庆县期末）若解关于的分式方程会产生增根，求的值．

【解答】解：去分母得：，

由分式方程有增根，得到，

解得：或，

当时，，即；

当时，，即，

综上，的值是或6．

知识点4 分式方程无解

分式方程无解的情况：

（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解.

（2）解出的整式方程的根是增根.

【典例】

1.解分式方程：

【解析】解：

方程两边同乘得：，

去括号，得：4x+8﹣16=﹣3x+6，

移项、合并同类项，得：7x=14，

系数化为1，得：x=2，

检验：当x=2时， 最简公分母=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.

【方法总结】

1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解

2、注意增根的检验：

检验：当x=2时， =0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。

2.若关于的分式方程无解，则的值为（　　）

A. ﹣1.5   B. 1     C. ﹣1.5或2        D. ﹣0.5或﹣1.5

【答案】D.

【解析】解：方程两边都乘以得：，

即，

分两种情况考虑：

①当2m+1=0时，整式方程无解，原分式方程也无解

此时m=﹣0.5

②当2m+1≠0时，

∵关于x的分式方程无解，

∴最简公分母，解得或，

当时，代入得，，此方程无解；

当时，代入得，，解得：m=﹣1.5.

∴当的值是﹣0.5或﹣1.5时，原方程无解.

故选：D

【方法总结】

1、分式方程无解可能为：整式方程本身无解或分式方程产生增根．

2、此题整理得到整式方程，此时分为两种情况：

① 当时，整式方程本身无解；

② 当时，解得是分式方程的增根，即满足或.

【随堂练习】

1．（2019•咸宁一模）若关于的分式方程无解，则　或6或1　．

【解答】解：（1）为原方程的增根，

此时有，即，

解得．

（2）为原方程的增根，

此时有，即，

解得．

（3）方程两边都乘，

得，

化简得：．

当时，整式方程无解．

综上所述，当或或时，原方程无解．

综合运用

1.解下列分式方程：

（1）；       （2）；

（3）；      （4）；

（5）；     （6）.

【解析】解：（1）

将原方程两边同乘以，得：

整理得：

解得：

检验：当时，≠0，所以原方程的解为.

（2）

方程两边同乘，得：，

去括号，得，

整理，得，

解得，

检验：当时，，所以原方程的解为.

（3）

方程两边同乘，得：，

解得：，

检验：当时，≠0，所以原方程的解为.

（4）

方程两边同乘，得：，

整理得：，

解得：

检验：当时，≠0，所以原方程的解为.

（5），

变形为

方程的两边同乘，得

整理得：

解得x=2．

检验：当x=2时，=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.

（6）

方程两边同乘以，

解得：x=2，

把x=2代入最简公分母=0，

所以x=2是原方程的增根，原方程无解.

2.对于的分式方程，当为何值时，分式方程有正数解．

【解析】解：分式方程去分母得：，

整理得：4x=6﹣m，

解得：

因为分式方程有正数解

所以

解得，

因为最简公分母，即

所以，解得

当且时，分式方程有正数解.

3.若关于的分式方程有增根，求常数的值.

【解析】解：

去分母得：，

整理得：

由分式方程有增根，得到，即，

把代入得：，

所以的值为2.

4.若关于的分式方程有增根，求增根的值.

【解析】解：

方程两边都乘，得

∵原方程有增根，

∴最简公分母

可知增根可能是或．

把带入，整理得4=0，整式方程无解

把带入，整理得

所以原方程的增根只能是.

5.若关于的方程无解，则的值为.

【解析】解：方程去分母，得：，即

①当时，整式方程无解，原分式方程也无解．

解得：

②当时，解得，要使原方程无解，则是原方程的增根，即

解得：．

故当的值为1或2时，分式方程无解.