初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质精品达标测试

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质精品达标测试，共8页。

12.3　角的平分线的性质
典型例题
题型一　角的平分线的性质的运用
例1　(2019·广西桂林中考)如图12-3-1所示，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上.
(1)求证：AC平分∠BAD.
(2)求证：BE＝DE.
图12-3-1
证明：(1)在△ABC与△ADC中，

∴ △ABC≌△ADC(SSS).
∴ ∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD.
(2)由(1)知∠BAE＝∠DAE.
在△BAE与△DAE中，
∴ △BAE≌△DAE(SAS).
∴ BE＝DE.
例2　(2019·广西柳州中考)已知：∠AOB(如图12-3-2).
求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：
图12-3-2
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于
点C′；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据上面的作法，完成以下问题：
(1)使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹).
(2)完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程(注：括号里填写推理的依据).
证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝　　　　，
∴ △C′O′D′≌△COD.(　　　　)
∴ ∠A′O′B′＝∠AOB.(　　　　)
解：(1)如图12-3-3，∠A′O′B′即为所求.
(2)证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，
∴ △C′O′D′≌△COD(SSS).
∴ ∠A′O′B′＝∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
　　　
图12-3-3
例3　如图12-3-4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长.
分析：本题主要考查角的平分线的性质与等腰直角三角形的综合应用.
图12-3-4
解：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2.
∵ ∠C＝90°，DE⊥AB，∴ CD＝DE.
在△ACD和△AED中，
∴ △ACD≌△AED(AAS).∴ AE＝AC＝BC.
∴ DE+EB+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝10 cm.
∴ △DEB的周长为10 cm.
题型二　角的平分线的判定
例4 (2020·长沙中考)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC，射线OC即为所求(如图12-3-5).

图12-3-5
请你根据提供的材料完成下面问题.
(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是　　　　.(填序号)
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
(2)请你证明OC为∠AOB的平分线.
(1)①
(2)证明：由作图过程，知OM＝ON，CM＝CN.
在△MOC与△NOC中，
∴ △MOC≌△NOC(SSS)，∴ ∠AOC＝∠BOC，
∴ OC为∠AOB的平分线.
例5　如图12-3-6所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N.下面三个结论：①如果EM＝EN，那么∠BAD＝∠CAD；②如果EM＝EN，那么AM＝AN；③如果EM＝EN，那么∠AEM＝∠AEN.其中正确的是　　　　(填序号).
图12-3-6
解析：本题考查角平分线的判定.
∵ EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝EN，由角平分线的判定得AE平分∠BAC，
∴ ①正确.已知tEM＝EN，又∵ AE＝AE，∴ Rt△AME≌Rt△ANE(HL)，
∴ ②③正确.
答案：①②③
例6　如图12-3-7所示，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F.求证：BP为∠MBN的平分线.
图12-3-7
分析：本题主要考查角平分线的判定方法，只要证出点P到BM，BN的距离相等即可.而点P是∠MAC与∠NCA的平分线的交点，故P到
AM，AC的距离相等，到CA，CN的距离也相等，从而可得PD＝PF.
证明：如图12-3-7，过点P作PE⊥AC于点E.
∵ AP平分∠MAC，PD⊥AM，∴ PD＝PE.
∵ CP平分∠ACN，PF⊥CN，∴ PE＝PF，∴ PD＝PF，
∴ 点P在∠MBN的平分线上，即BP为∠MBN的平分线.
例7　如图12-3-8所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵ BF⊥AC，AB⊥CE，
图12-3-8
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ DE＝DF.
又∵ BF⊥AC，AB⊥CE，
∴ AD平分∠BAC(角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上).
题型三　角的平分线的性质与判定的综合运用
例8　如图12-3-9所示，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，给出下列结论：
①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE，DF的距离也相等.其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图12-3-9
解析：本题考查角平分线的性质和判定，由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，可知DE＝DF，且∠ADE＝∠ADF，所以①成立.在①成立的基础上，又因为AE⊥DE，AF⊥DF，所以AE＝AF，即②成立.假设P是AD上
任一点，连接BP，CP，由SAS可证△ABP≌△ACP，所以BP＝CP，所以
③成立.到AE，AF距离相等的点在AD上，而DA又是∠EDF的平分线，所以DA上的点到DE，DF的距离也相等，所以④成立.故正确的结论有4个.
答案：D
例9　已知：如图12-3-10，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，BF交CE于点D，且BD＝CD.
(1)求证：AD平分∠BAC.
图12-3-10
(2)若将(1)中的条件“BD＝CD”与结论“AD平分∠BAC”互换，还成立吗？为什么？
(1)证明：∵ CE⊥AB，BF⊥AC，
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△DEB与△DFC中，
∴ △DEB≌△DFC(AAS)，∴ DE＝DF.
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ AD平分∠BAC.
(2)解：将(1)中的条件“BD＝CD”与结论“AD平分∠BAC”互换仍然成立.
理由如下：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△DEB与△DFC中，
∴ △DEB≌△DFC(ASA).∴ BD＝CD.
方法归纳
欲证明某个点在一个角的平分线上，只需从这一点向角的两边作垂线段，再证明该点到角的两边的距离相等即可.这样把证“点在角的平分线上”的问题转化为证“线段相等”的问题，体现了数学转化思想.
题型四　与角的平分线的性质有关的探究题
例10　如图12-3-11①，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，请你添加一个条件使AD⊥EF.

　　 ①　　　 　　　②　　　　　　　③
图12-3-11
(1)你添加的条件是　　　　，并证明AD⊥EF.
(2)如图12-3-11②，AD为∠BAC的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，GE⊥AB于点E，GF⊥AC于点F，这时AD是否垂直于EF？
(3)如图12-3-11③，当点G沿AD方向且在其延长线上运动时，其他条件不变，这时AD是否垂直于EF？
分析：要使AD⊥EF，可加的条件不止一种，如DE＝DF，AD平分∠BAC，AE＝AF等，任选一个即可，现选AD平分∠BAC并加以证明.
解：(1)添加的条件是AD平分∠BAC.
证明：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴ Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴ ∠EDA＝∠FDA.
设AD交EF于点O，在△DOE和△DOF中，

∴ △DOE≌△DOF(SAS)，
∴ ∠DOE＝∠DOF.
∵ ∠DOE+∠DOF＝180°，
∴ ∠DOE＝∠DOF＝90°，∴ AD⊥EF.
(2)AD⊥EF，理由同(1).
(3)AD⊥EF，理由同(1).
例11　(2019·贵州安顺中考)(1)如图12-3-12①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.
AB，AD，DC之间的等量关系为　　　　.
(2)问题探究：如图12-3-12②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.
　　　
①　　　　 　②
图12-3-12
解：(1)AD＝AB+DC.
理由如下：∵ AE是∠BAD的平分线，
∴ ∠DAE＝∠BAE.
∵ AB∥CD，∴ ∠F＝∠BAE，
∴ ∠DAF＝∠F，∴ AD＝DF.
∵ 点E是BC的中点，
∴ CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF.
∴ △CEF≌△BEA(AAS).
∴ AB＝CF，
∴ AD＝CD+CF＝CD+AB.
答案：AD＝AB+DC
(2)AB＝AF+CF.
理由如下：如图12-3-13，延长AE交DF的延长线于点G.
∵ E是BC的中点，∴ CE＝BE.
∵ AB∥DC，∴ ∠BAE＝∠G，且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC，
∴ △AEB≌△GEC(AAS)，∴ AB＝GC.
图12-3-13
∵ AE是∠BAF的平分线，∴ ∠BAG＝∠FAG.
∵ ∠BAG＝∠G，∴ ∠FAG＝∠G，
∴ FA＝FG.
∵ CG＝CF+FG，∴ AB＝AF+CF.
题型五　文字证明题
例12　(湖北咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图12-3-14，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，　　　　.
求证：　　　　.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
解：补全的内容为：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.
图12-3-14
求证：PD＝PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵ 在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO＝90°，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴ △PDO≌△PEO，∴ PD＝PE.
例13　证明：三角形的三个内角的平分线交于一点.
分析：根据“两条直线相交，只有一个交点”可知，若已知三角形两内角平分线的交点，只需证该点在第三个内角的平分线上即可.由此可得该命题的已知和求证，然后据此画出图形，再写出推理过程.
已知：如图12-3-15，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BP，CP交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上.
图12-3-15
证明：如图12-3-15，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.
∵ BP平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥BA，∴ PE＝PD.
同理，PD＝PF.∴ PE＝PF.
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，∴ 点P在∠BAC的平分线上.
点拨：三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这点到三角形三条边的距离相等.
题型六　角的平分线在生活中的应用
例14　如图12-3-16所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有(　　)
A.一处　　　　B.两处 C.三处　　　　D.四处
图12-3-16
解析：根据三角形内角平分线的交点到三边的距离相等和两外角平分线的交点到三角形的一边与其他两边延长线的距离相等得可在①
②③④四处区域选择地址.　　
答案：D
例15　如图12-3-17，AB，AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC的内部建一个物流中心，设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1 000 m.
(1)若以1∶50 000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
(2)在图中画出物流中心的位置P.(保留作图痕迹，不写作法)
　　
图12-3-17　　 　　图12-3-18
分析：本题为比例计算与尺规作图的综合题.第(1)题按比例直接计算即可得出P到A的距离为2 cm；第(2)题就是在∠BAC的平分线上找一点P，使它到A点的距离为2 cm.
解：(1)1 000 m＝100 000 cm，100 000÷50 000＝2(cm).
(2)如图12-3-18中的P点.
图12-3-19
例16　如图12-3-19所示，两岸平行的河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等.一水文数据记录员站到台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥这头走到桥那头，问记录员的视线转过多大角度？
分析：本题的实质就是求∠AOB的度数，由条件可知AO平分∠CAB，
BO平分∠ABD，结合角平分线的性质及三角形内角和定理，即可求出∠AOB的度数.
解：如图12-3-19，连接OA，OB.
∵ 点O到AC，AB，BD的距离相等，
∴ AO，BO分别平分∠CAB，∠ABD，
即∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠ABD.
∵ AC∥BD，
∴ ∠CAB+∠ABD＝180°.
∴ ∠OAB+∠OBA＝(∠CAB+∠ABD)＝90°.
∴ ∠AOB＝180°-(∠OAB+∠OBA)＝90°，
即记录员的视线转过90°.
拓展资料
数学与生活
这段时间我们不但学习了全等三角形的知识，而且还学习了角的平分线的性质与判定.这些知识在日常生活中有着广泛的应用.例如：丁丁家附近有一条铁路和一条公路，铁路与公路相交，丁丁家所在的村有一条小路通向公路与铁路(如图12-3-20)，我们知道，丁丁家住的位置到铁路与公路的距离相等，你能通过所学的角平分线的知识在小路上找到丁丁家准确的位置吗？

图12-3-20
其实，只要我们牢固掌握三角形全等、角的平分线的性质等知识，上面的问题便迎刃而解了，请试着解决下面的问题.
货物中转站的选址
如图12-3-21，三条相互交叉的公路l1，l2，l3相交于A，B，C三点，现在想建立一个货物中转站，要求货物中转站到三条公路l1，l2，l3的距离都相等.问：货物中转站的选址可以放在哪里？
　　　
图12-3-21　　　　　　图12-3-22　
小宇是这样选址的：如图12-3-22，分别作∠ABC，∠BCA的平分线相交于点O，点O就是货物中转站的位置.
你认为小宇的选址正确吗？理论根据是什么？除了小宇的选址外，货物中转站还可以选在其他地点吗？可供选择的地址一共有几处呢？
分析与解答：
小宇的选址符合要求.这是因为O点在∠ABC的平分线上，所以O点到l1，l2的距离相等，O点又在∠BCA的平分线上，所以O点到l2，l3的距离相等，即O点到三条公路的距离都相等，所以小宇的选址是正确的.
货物中转站的选址没有要求，不一定建在三条公路l1，l2，l3围成的区域内(△ABC的内部)，所以还可以建在其他地方.比如，分别作△BAC的一个外角的平分线和∠ABC的平分线得一交点，这个地方建货物中转站同样符合要求，依此类推，可供选择的地址一共有4处.