人教版八年级上册12.1 全等三角形同步训练题

第3讲 全等辅助线（一）

知识点1 截长补短

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.

如图，在线段上截取.

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.

如图，延长到点D，使得.

【典例】

1. 如图，在中，，的平分线交于点．

求证：．

【解析】方法一：（截长）在上截取AE=AB，连接．

在和中

，，

∴（SAS）

∴，

又∵

∴，

∴

∵AE+EC=AC

∴．

方法二：（补短）延长到点使得，连接．

在和中，，，

∴(SAS)，

∴

又∵

∴

∴，

∵AB+BE=AE

∴．

方法三：（补短）延长到点使得，连接

则有，

又∵，

 ∴

∴

∴，

∴

∴AB+BD=AC         

【方法总结】

若题目条件或求证结论中含有“”，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系.

【随堂练习】

1．（2017秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB=AC+CD

小明同学经过思考，得到如下解题思路：

在AB上截取AE=AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB=AC+CD

（1）请你根据以上解思路写出证明过程；

（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D=25°，其他条件不变，求∠B的度数．

【解答】证明：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠B+∠BDE=∠AED，

∴∠B=∠BDE，

∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

（2）在射线BA上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠EAC的角平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠ACD=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴设∠B=x，则∠ACB=2x，

∴∠EAC=3x，

∴∠EAD=∠CAD=1.5x，

∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，

∴∠ADC=0.5x=25°，

解得：x=50°∴∠EDC=x，

∴∠B=∠EDC=50°，

∴BE=ED=CD，

∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．

2．（2017秋•延庆县期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系呢？

（1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为：　______．

（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：如图2，延长AC到F，使CF=CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

想法2：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种方法即可）．

【解答】解：（1）∠ACB=2∠ABC，

故答案为：∠ACB=2∠ABC，

（2）想法1

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAC=∠CAB，

∵AF=AC+CF，且CD=CF，

∴AF=AC+CD，

又∵AB=AC+CD，

∴AB=AF，

又∵AD=AD，

∴△ABD≌△AFD，

∴∠B=∠F，

∵CD=CF，

∴∠F=∠CDF，

又∵∠ACB=∠F+∠CDF，

∴∠ACB=2∠F，

∴∠ACB=2∠B，

想法2

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAC=∠CAB，

又∵AC=AE，AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴ED=CD，∠C=∠AED，

又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，

∴CD=BE，

∴DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

又∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠AED=2∠B，

又∵∠C=∠AED，

∴∠C=2∠B．

知识点2 倍长中线

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．

例如：

其中，延长使得，则．

【典例】

1. 如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是____．

【答案】①、②、④

【解析】①正确．∵，，∴AD=2AC．

②、④正确．

延长到，使，连接．

∵是边上的中线，∴．

在和中

∴（SAS）

∴，

∴

在和中

∴(SAS)

∴，∠FCB=∠DCB

即CD=2CE，CB平分∠DCE．

③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．

【方法总结】

本题综合性强，主要考察全等三角形的倍长中线知识点，在做全等三角形相关题目时，一旦给出“中线”、“中点”等条件时，我们应考虑到是否可以使用倍长中线法.

【随堂练习】

1．（2015秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．

【解答】证明：延长AD到G，使得DG=AD．

在△ADC和△GDB中，

，

∴△ADC≌△GDB，

∴AC=BG 且∠CAD=∠G

∵AE=EF，

∴∠EFA=∠EAF，

∴∠G=∠EFA，

∵∠EFA=∠BFG，

∴∠G=∠BFG，

∴BG=BF，

∵AC=BG，

∴BF=AC．

综合运用

1.如图，中，，，平分交于点．求证：．

【解析】方法一：在上截取点使，连结．

∵平分，

∴．

在与中

∵，，

∴，

∴

∵，

 ∴

∴．

又∵

∴，

∴，

∴

∵，

∴

方法二：如图，延长到，使，连结．

∵，且，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

又∵

∴．

∴．

∴．

2.已知：在中，，，求证：．

【解析】方法一：在上取一点，使DE=BD，如图1，

在和中，，，．

∴．

∴，．

又∵

∴，

∴

∴．

方法二：延长到点，使，如图2，

∴．

∵，

∴．

在和中，∠ADE=∠ADC，，．

∴．

∴．

∵

∴．

3.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．

【解析】

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG

由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB

又∵DG=BF

∴△ADG ≌△ABF（SAS）

∴GAD=FAB，

∴AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF

∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°

∴GAE=FAE=45°

又∵AG=AF，AE=AE

∴△EAG ≌△EAF（SAS）

∴EF=GE=GD+DE=BF+DE

4. 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

【解析】

，

理由是：在上截取，连结，

利用证得≌，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

利用证得≌，

∴，

∴．

5. 已知中，平分，且，求证：．

【解析】解：延长到，使，连接．

则，

∴，，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴．

6. 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．

【解析】

解：延长到，使，连接

∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴

∴，

∴，∴．

7.如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．

【解析】解：延长到，使，连结，

利用证明，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴∥．