初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形课后复习题

第4讲  全等辅助线（二）

知识点1 半角模型

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型. 常见的图形为正方形，正三角形等.

（1）正方形内含半角:

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，易证：EF=BE+DF.

（2）正三角形内含半角:

如图，在四边形ABCD中，AB=AC=BC,BD=DC， E、F分别是AB、AC边上的点，∠BDC=120° , ∠EDF=60°，易证：EF=FC+BE.

【典例】

1.已知：正方形中，，它的两边分别交线段于点.求证.

【方法总结】

本题考查了全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题.

【随堂练习】

1.（2017秋•河西区校级月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

知识点2 手拉手模型

“手拉手”数学模型：

【典例】

1.如图，已知点为线段上一点，、是等边三角形．

⑴ 求证：.

⑵ 将绕点按逆时针方向旋转，使点落在上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；

⑶ 在⑵得到的图形中，结论“”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

【方法总结】

这是一个运动变化的探索题，是“手拉手”经典例题，证明方法类似，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）；解决此类题，需要画图分析、判断、猜想、推理论证．

【随堂练习】

（2017春•漳浦县期中）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请猜想：DC与BE的数量关系，并给予证明；

（2）求证：DC⊥BE．

知识点3 三垂模型

常见三垂直模型

【典例】

1.如图（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？请任选一个说明理由．

【方法总结】

本题主要考查全等三角形的判定、平移的性质，关键在于根据题意求证相关三角形全等．

对于第一问，根据题意推出△ABC≌△CDE，即可推出AC⊥CE；
对于第二问，主要是根据已知推出△ABC1≌△C2DE，即可推出结论．

【随堂练习】

1．（2016秋•罗平县期末）已知：如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，

（1）求证：DE=BD+CE．

（2）如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论？并证明．

2．（2016秋•杭州期末）如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．

（1）求证：△BEC≌△CFA；

（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；

（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

综合运用

1.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

图1                  图2                   

（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是           ；                                                                                                     

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想⑴问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.

2. 如图，等边三角形与等边三角形共点于，连接、，

求证：=并求出的度数.

3. 如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，连接BG、CF，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出∠GNC的度数．

4. 如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O．

（1）求证：EC=BG且EC⊥BG．

（2）探究：△ABC与△AEG面积是否相等？并说明理由．

5. 如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在同一直线上，连接BE，AD．

（1）求证：BE=AD；

（2）如图②，点P为线段BE上一点，点F为线段AD上一点，AF=BP，连接AP，CP，PF，若PF⊥AD，求∠BPC的度数；

6. 如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE与E点．

（1）求证：BD=DE+CE

（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时（BD＜CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？请予以证明．

（3）若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时（BD＞CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．