数学人教版第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法当堂检测题

第11讲  因式分解（一）

 知识点1 提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

【典例】

1.因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）=              ．

【答案】（2a+b）（2a﹣b）．
【解析】解：通过观察，原式的公因式是2a+b，把公因式提取到括号外边，

因此（2a+b）2﹣2b（2a+b）

=（2a+b）（2a+b﹣2b）

=（2a+b）（2a﹣b）．

故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．

【方法总结】

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

2.如果x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2=   ．

【答案】6
【解析】解：对式子x2y﹣xy2分解因式，可得

x2y﹣xy2=xy（x﹣y）

∵x﹣y=2，xy=3

∴原式=3×2

=6．

故答案为：6．

【方法总结】

如果所求的式子是个多项式，先对式子进行因式分解，然后再代入题干中给出的其他条件（或对其他条件进行整理后，再代入）进行计算.

3.计算：﹣5652×0.13+4652×0.13=      ．

【答案】﹣130
【解析】解：﹣5652×0.13+4652×0.13

=0.13×（﹣5652+4652）

=0.13×（﹣1000）

=﹣130，

故答案为：﹣130．

【方法总结】

以前学习过乘法分配律，a(c+b)=ac+ab, 对于这类题而言，提公因式法更像是乘法分配律的逆运算，先找到相同的数字（有时是幂，需提取最低次幂），提取到括号的外边，然后对剩下的部分整理，再计算.

【随堂练习】

1．（2019春•铜山区期末）分解因式　　．

【解答】解：．

故答案为：．

2．（2018秋•大渡口区期末）若，，则　　．

【解答】解：，，

原式，

故答案为：

3．（2019春•赫山区期末）因式分解：　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

4．（2019•永康市二模）因式分解：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

5．（2019•潮州模拟）分解因式：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

6．（2019•南平一模）分解因式：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

7．（2019•鹿城区校级三模）因式分解：　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

8．（2019•桂林三模）分解因式：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

知识点2 公式法—平方差公式

平方差公式：

①公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；

②二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积

【典例】

1.分解因式：a2﹣81=            ．

【答案】（a+9）（a﹣9）．
【解析】解：原式= a2- 92

=（a+9）（a﹣9）．

故答案为：（a+9）（a﹣9）．

【方法总结】

利用平方差公式进行因式分解，一定要先判断这个多项式是否满足平方差公式因式分解的条件，即: 公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式．

2.多项式 （3a+2b）2﹣（a﹣b）2分解因式的结果是（　　）

A. （4a+b）（2a+b）   B. （4a+b）（2a+3b） C. （2a+3b）2   D. （2a+b）2

【答案】B.
【解析】解：（3a+2b）2﹣（a﹣b）2=[（3a+2b）+（a﹣b）][（3a+2b）﹣（a﹣b）]

=（4a+b）（2a+3b），

故选：B

【方法总结】

利用平方差公式：进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以是数字、字母或者式子.

知识点3 公式法—完全平方公式

完全平方公式：

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方.

【典例】

1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A. 4x2﹣12xy+9y2 B. 2x2+4x+1     C. 2x2+4xy+y2   D. x2﹣y2+2xy

【答案】A.
【解析】解：A、4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项正确；而B、C、D均不满足完全平方公式因式分解的条件.故选A

【方法总结】

需要注意的是，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的 形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

2.分解因式4+12（a﹣b）+9（a﹣b）2=            ．

【答案】（2+3a﹣3b）2
【解析】解：原式=22+12（a﹣b）+[3（a﹣b）]2

=[2+3（a﹣b）]2

=（2+3a﹣3b）2．

故答案为：（2+3a﹣3b）2．

【方法总结】

利用完全平方公式：，

进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以是数字、字母或者式子.

另外，分解因式时，需要注意，因式分解一定要分解到不能再分解为止.

3.已知x=y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25=      ．

【答案】9000
【解析】解：原式=（x﹣y）2﹣25

∵x=y+95，即x﹣y=95，

∴原式=952-25

=9025﹣25

=9000，

故答案为：9000

【方法总结】

如果问题中的式子是个多项式，先对问题中的式子进行因式分解（有时是部分因式分解，目的是整理出与条件相接近或相同的式子），然后再代入题干中的条件进行运算.

【随堂练习】

1．（2019•利川市二模）因式分解：　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

2．（2019•黔东南州）分解因式：　　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

3．（2019•峨眉山市二模）把多项式分解因式的结果是　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

4．（2019•苍南县一模）分解因式：　　．

【解答】解：原式．

故答案为：

5．（2018秋•昆明期末）因式分解：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

6．（2018秋•下陆区期末）已知，则代数式　9000　．

【解答】解：，即，

原式，

故答案为：9000

二．解答题（共3小题）

7．（2019春•滦南县期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程

解：设，

原式　（第一步）

　（第二步）

（第三步）

（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　（填序号）．

．提取公因式                           ．平方差公式

．两数和的完全平方公式          ．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否” 如果否，直接写出最后的结果　 　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：；

（2）这个结果没有分解到最后，

原式；

故答案为：否，；

（3）

．

8．（2019春•郓城县期末）分解因式

（1）

（2）．

【解答】解：（1）原式；

（2）原式

9．（2019春•晋州市期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．

解：设，

原式 （第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　．

．提取公因式

．平方差公式

．两数和的完全平方公式

．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　．（填“彻底”或“不彻底” 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，

原式；

故答案为：不彻底，；

（3）

．

知识点4 提公因式法与公式法的综合

目前，我们已经学习了两种分解因式的方法：提公因式法和公式法. 这两种方法经常需要配合使用，对于一个多项式，有公因式的，需要先提取公因式，然后再使用公式法.

【典例】

1.把多项式x3﹣4x分解因式所得的结果是（　　）

A. x（x2﹣4） B. x（x+4）（x﹣4）  C. x（x+2）（x﹣2）  D. （x+2）（x﹣2）

【答案】C.
【解析】解：观察x3﹣4x，发现公因式是x，先提取公因式x

所以，原式=x（x2﹣4）

因为x2﹣4可以用平方差公式因式分解，

所以，x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．

故选：C

【方法总结】

对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.

2.把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（　　）

A. a（2a+b）2  B. b（2a+b）2   C. b（a+2b）2   D. 4b（a+b）2

【答案】B.
【解析】解：4a2b+4ab2+b3

=b（4a2+4ab+b2）

=b（2a+b）2．

故选：B

【方法总结】

对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.

【随堂练习】

1．（2019•临沂）将进行因式分解，正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

二．填空题（共9小题）

2．（2019•呼和浩特）因式分解：　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

3．（2019•莲湖区模拟）分解因式：　　．

【解答】解：．

故答案为．

4．（2019•松北区二模）因式分解　　．

【解答】解：原式．

故答案为：

5．（2019•新泰市二模）把多项式分解因式的结果是　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

6．（2019•昆明三模）把多形式分解因式的结果是　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

7．（2019•云南模拟）分解因式：　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

8．（2019•弥勒市二模）把多项式分解因式的结果为　　．

【解答】解：原式，

故答案为：

9．（2019•金华模拟）因式分解：　　．

【解答】解：

．

故答案为：．

10．（2019•瑞安市三模）因式分解：　　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

   综合运用

1.因式分解：16x2y﹣xy=           ．

【答案】xy（16x﹣1）．
【解析】解：16x2y﹣xy=xy（16x﹣1）．

故答案为：xy（16x﹣1）．

2.因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=             ．

【答案】n（n﹣m）（m+1）
【解析】解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），

=mn（n﹣m）+n（n﹣m），

=n（n﹣m）（m+1）．

故答案为：n（n﹣m）（m+1）．

3.利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299=      ．

【答案】﹣299．
【解析】解：（﹣2）101+（﹣2）100+299

=﹣2101+2100+299

=299（﹣22+2+1）

=﹣299．

故答案为：﹣299．

4.若m﹣n=3，mn=﹣2，则4m2n﹣4mn2+1的值为     ．

【答案】﹣23
【解析】解：原式=4mn（m﹣n）+1

∵m﹣n=3，mn=﹣2，

∴原式=4×（-2）×3+1

=﹣24+1

=﹣23，

故答案为：﹣23

5.分解因式：x2﹣9y2               ．

【答案】（x+3y）（x﹣3y）．
【解析】解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．

故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．

6.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是_______.

【答案】（a﹣1）2（a+1）2
【解析】解：（a2+1）2﹣4a2

=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）

=（a﹣1）2（a+1）2．

7.已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为    ．

【答案】﹣4
【解析】解：原式m2﹣4mn+4n2﹣5=（m﹣2n）2﹣5

∵m=2n+1，

∴m﹣2n=1，

∴原式=1﹣5=﹣4，

故答案为：﹣4．

8.分解因式：b2﹣12b+36=        ．

【答案】（b﹣6）2
【解析】解：原式=（b﹣6）2，

故答案为：（b﹣6）2

9.分解因式：ax4﹣9ay2=                 ．

【答案】a（x2+3y）（x2﹣3y）
【解析】解：原式=a（x4﹣9y2）

=a（x2+3y）（x2﹣3y），

故答案为：a（x2+3y）（x2﹣3y）

10.把多项式3a3﹣12a2+12a分解因式的结果是          ．

【答案】3a（a﹣2）2
【解析】解：原式=3a（a2﹣4a+4）

=3a（a﹣2）2，

故答案为：3a（a﹣2）2

11.把多项式5a3b﹣10a2b+5ab分解因式的结果是           ．

【答案】5ab（a﹣1）2
【解析】解：原式=5ab（a2﹣2a+1）=5ab（a﹣1）2，

故答案为：5ab（a﹣1）2

12.因式分解：（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+9.

【答案】
【解析】解：原式=[（x2﹣6）-3] 2

=（x2﹣6﹣3）2

=（x2﹣9）2

=（x+3）2 （x﹣3）2．